Упр.157 Часть 1 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. Площадь прямоугольника равна $$36$$. Известно, что длины его сторон — натуральные числа. Про какие из следующих утверждений можно сказать, что они являются истинными высказываниями?
   а) «Длина хотя бы одной из сторон — чётное число».
   б) «Этот прямоугольник является квадратом».
   в) «Периметр этого прямоугольника больше, чем $$72$$».
   г) «Периметр этого прямоугольника меньше, чем $$75$$».

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$, тогда $$ab=36$$, причём $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа.

Разложим число $$36$$ на пары натуральных множителей:

$$36=1\cdot 36=2\cdot 18=3\cdot 12=4\cdot 9=6\cdot 6.$$

Во всех парах, кроме $$6\cdot 6$$, хотя бы один множитель чётный. Значит, утверждение а) истинно.

Утверждение б) ложно, так как прямоугольник площадью $$36$$ не обязан быть квадратом; квадрат получится только при сторонах $$6$$ и $$6$$.

Периметр прямоугольника равен $$P=2(a+b)$$. Для пар множителей выше получаем:

$$2(1+36)=74,\quad 2(2+18)=40,\quad 2(3+12)=30,\quad 2(4+9)=26,\quad 2(6+6)=24.$$

Следовательно, периметр не может быть больше $$72$$, значит утверждение в) ложно.

Так как наибольший возможный периметр равен $$74$$, то он всегда меньше $$75$$. Значит, утверждение г) истинно.

Ответ: а) и г).