Упр.138 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

События $$A$$ и $$B$$ независимы. Докажите, что независимы события $$A$$ и $$\overline{B}$$.

Известно, что для независимых событий $$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B).$$

Так как $$A=(A\cap B)\cup(A\cap \overline{B})$$ и события $$A\cap B$$ и $$A\cap \overline{B}$$ несовместны, то

$$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B}).$$

Тогда

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B).$$

Подставим формулу независимости событий $$A$$ и $$B$$:

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A)\cdot P(B).$$

Вынесем $$P(A)$$ за скобки:

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)\cdot(1-P(B)).$$

Но $$1-P(B)=P(\overline{B})$$, значит

$$P(A\cap \overline{B})=P(A)\cdot P(\overline{B}).$$

Следовательно, события $$A$$ и $$\overline{B}$$ независимы.

Ответ: события $$A$$ и $$\overline{B}$$ независимы.