Упр.81 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. С помощью диаграмм Эйлера докажите равенство: а) $$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$$; б) $$\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}$$.

Докажем равенства с помощью диаграмм Эйлера.

а)

Событие $$\overline{A}\cap \overline{B}$$ означает, что элемент не принадлежит ни событию $$A$$, ни событию $$B$$. На диаграмме это вся область вне обоих кругов.

Событие $$\overline{(A\cup B)}$$ означает дополнение к объединению $$A\cup B$$, то есть тоже все точки, которые не принадлежат ни $$A$$, ни $$B$$.

Следовательно, изображения этих событий совпадают, значит,

$$\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{(A\cup B)}.$$

б)

Событие $$\overline{A}\cup \overline{B}$$ означает, что элемент не принадлежит хотя бы одному из событий $$A$$ или $$B$$. На диаграмме это вся область, кроме общей части кругов $$A$$ и $$B$$.

Событие $$\overline{(A\cap B)}$$ означает дополнение к пересечению $$A\cap B$$, то есть все точки, кроме общей части кругов.

Значит, эти события совпадают:

$$\overline{A}\cup \overline{B}=\overline{(A\cap B)}.$$

Ответ

$$\overline{A}\cap \overline{B}=\overline{(A\cup B)},\qquad \overline{A}\cup \overline{B}=\overline{(A\cap B)}.$$