Упр.319 ГДЗ Муравин 6 класс (Математика)
Докажите, что:
- 1) если сумма любых двух из трех натуральных чисел $$k$$, $$m$$ и $$n$$ делится на $$3$$, то и сумма всех трех этих чисел делится на $$3$$; 2) если сумма любых трех из четырех натуральных чисел делится на $$4$$, то и каждое число делится на $$4$$.
1) Обозначим сумму любых двух чисел через кратное 3 число:
$$k+m=3a,\quad k+n=3b,\quad m+n=3c$$
Сложим эти равенства:
$$(k+m)+(k+n)+(m+n)=3a+3b+3c$$
$$2k+2m+2n=3(a+b+c)$$
Правая часть делится на 3, значит и левая делится на 3. Тогда число
$$2(k+m+n)$$
делится на 3. Так как число 2 на 3 не делится, то и
$$k+m+n$$
делится на 3.
2) Пусть даны четыре натуральных числа $$m, n, k, l$$. По условию сумма любых трёх из них делится на 4:
$$m+n+k,\quad m+n+l,\quad m+k+l,\quad n+k+l$$
Сложим все четыре суммы:
$$(m+n+k)+(m+n+l)+(m+k+l)+(n+k+l)$$
$$=2m+2n+2k+2l=2(m+n+k+l)$$
Это число делится на 4, значит сумма $$m+n+k+l$$ делится на 2. Но нужно доказать, что каждое число делится на 4. Для этого рассмотрим разности любых двух данных сумм:
$$(m+n+k)-(m+n+l)=k-l$$
$$(m+n+k)-(m+k+l)=n-l$$
$$(m+n+k)-(n+k+l)=m-l$$
Так как каждая из исходных сумм делится на 4, то и их разности делятся на 4. Значит,
$$k-l,\quad n-l,\quad m-l$$
кратны 4. Тогда числа $$m, n, k$$ имеют одинаковый остаток при делении на 4, как и $$l$$. Пусть этот остаток равен $$r$$. Тогда
$$m=4a+r,\quad n=4b+r,\quad k=4c+r,\quad l=4d+r$$
Подставим в сумму любых трёх чисел, например:
$$m+n+k=4(a+b+c)+3r$$
По условию это число делится на 4, значит и $$3r$$ делится на 4. Но число 3 на 4 не делится, следовательно, $$r=0$$. Значит, каждое из чисел $$m, n, k, l$$ делится на 4.
Ответ
1) $$k+m+n$$ делится на 3.
2) $$m, n, k, l$$ делятся на 4.
