Упр.762 ГДЗ Мерзляк Полонский 6 класс (Математика)

На рисунке 52 проиллюстрирован старинный способ вычисления площади круга. Объясните, почему произведение $$rl$$ приблизительно равно площади круга.

Площадь круга равна $$S=\pi r^2,$$ а длина окружности — $$l=2\pi r.$$

На рисунке круг разрезан на узкие сектора и сложен так, что получается фигура, близкая к прямоугольнику. Его высота равна радиусу $$r,$$ а длина примерно равна половине длины окружности, то есть $$\frac{l}{2}.$$

Тогда площадь этой фигуры приближённо равна

$$S \approx r \cdot \frac{l}{2}.$$

Подставим $$l=2\pi r$$:

$$r \cdot \frac{l}{2} = r \cdot \frac{2\pi r}{2} = \pi r^2.$$

Значит, произведение $$rl$$ в таком способе даёт площадь, вдвое большую, чем площадь круга, если брать всю длину окружности. Поэтому для полученной фигуры используется половина окружности, и её площадь приближённо равна площади круга.

Ответ: при разрезании круга на сектора и их перестановке получается фигура, близкая к прямоугольнику со сторонами $$r$$ и $$\frac{l}{2}$$, поэтому её площадь равна $$r \cdot \frac{l}{2} \approx \pi r^2,$$ то есть приближённо равна площади круга.