Упр.6.68 ГДЗ Виленкин Жохов 6 класс Часть 2, Просвещение (Математика)

Развивай мышление. Вычислите наиболее простым способом:

$$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{8\cdot9}+\frac{1}{9\cdot10}$$

Представим каждый дробный член в виде разности соседних дробей:

$$\frac{1}{1\cdot 2}=1-\frac12,\quad \frac{1}{2\cdot 3}=\frac12-\frac13,\quad \frac{1}{3\cdot 4}=\frac13-\frac14,\quad \ldots,\quad \frac{1}{9\cdot 10}=\frac19-\frac1{10}$$

Тогда сумма примет вид:

$$\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\left(\frac16-\frac17\right)+\left(\frac17-\frac18\right)+\left(\frac18-\frac19\right)+\left(\frac19-\frac1{10}\right)$$

При раскрытии скобок все промежуточные слагаемые сокращаются, остаётся:

$$1-\frac1{10}=\frac9{10}$$

Ответ

$$\frac9{10}$$