Проверь себя! Глава 3 ГДЗ Ткачёва 5 класс (Математика)
I уровень
- Не производя вычислений, определить, значения каких выражений делятся на $$7$$:
1) $$36 \cdot 49 + 14 \cdot 60$$;
2) $$21 \cdot 30 + 15 \cdot 8$$;
3) $$538 \cdot 28$$. - Среди чисел $$900$$, $$695$$, $$738$$, $$570$$ найти такие, которые:
1) делятся на $$2$$;
2) делятся на $$3$$;
3) делятся на $$5$$;
4) делятся на $$9$$;
5) делятся на $$10$$. - Найти НОД и НОК чисел:
1) $$9$$ и $$6$$;
2) $$54$$ и $$28$$. - Выполнить деление с остатком числа $$2658$$ на $$13$$ и сделать проверку.
- Прочитать диалоги из § 17.
1) Существует ли самое большое простое число?
2) Что доказал П. Л. Чебышёв о существовании простых чисел?
3) Какие числа называют совершенными? Сколько таких чисел сегодня известно?
II уровень
- Верно ли высказывание: «Если каждое из двух чисел не делится на $$6$$, то и их сумма не делится на $$6$$»?
- Дописать справа от числа $$723$$ одну цифру так, чтобы полученное четырёхзначное число делилось и на $$9$$, и на $$4$$.
- Записать все делители числа $$48$$.
- Из чисел $$8$$, $$15$$, $$10$$, $$13$$ составить все возможные пары взаимно простых чисел.
- Не выполняя вычислений, установить, простым или составным числом является значение выражения $$7 \cdot 8 \cdot 11 \cdot 27 + 11$$.
- Найти НОК и НОД чисел $$1925$$, $$70$$ и $$105$$.
- Найти делитель, если делимое равно $$355$$, неполное частное равно $$27$$, а остаток — $$4$$.
- Прочитать диалоги из § 17.
1) Что такое решето Эратосфена?
2) Какие совершенные числа знали в школе Пифагора?
3) Объяснить, почему число $$28$$ — совершенное.
I уровень
1) $$36 \cdot 49 + 14 \cdot 60 = 36 \cdot 7 \cdot 7 + 2 \cdot 7 \cdot 60 = 7 \cdot (36 \cdot 7 + 2 \cdot 60),$$ значит, выражение делится на 7.
2) $$21 \cdot 30 + 15 \cdot 8$$ не делится на 7, так как $$21 \cdot 30$$ делится на 7, а $$15 \cdot 8$$ не делится на 7.
3) $$538 \cdot 28$$ делится на 7, потому что множитель $$28$$ делится на 7.
2. Проверим сумму цифр:
$$900: 9+0+0=9$$
$$695: 6+9+5=20$$
$$738: 7+3+8=18$$
$$570: 5+7+0=12$$
1) На 2 делятся: $$900,\ 738,\ 570.$$
2) На 3 делятся: $$900,\ 738,\ 570.$$
3) На 5 делятся: $$900,\ 695,\ 570.$$
4) На 9 делятся: $$900,\ 738.$$
5) На 10 делятся: $$900,\ 570.$$
3. Разложим числа на простые множители:
$$9=3 \cdot 3,\quad 6=2 \cdot 3,$$
$$54=2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3,\quad 28=2 \cdot 2 \cdot 7.$$
1) $$\gcd(9,6)=3,$$ $$\operatorname{lcm}(9,6)=18.$$
2) $$\gcd(54,28)=2,$$ $$\operatorname{lcm}(54,28)=756.$$
4. Выполним деление с остатком:
$$2658:13=204 \text{ (ост. }6\text{)}.$$
Проверка:
$$13 \cdot 204 + 6 = 2652 + 6 = 2658.$$
5. Диалоги из § 17:
1) Самого большого простого числа не существует.
2) П. Л. Чебышёв доказал, что между любым натуральным числом, большим 1, и числом, в 2 раза его большим, всегда найдётся хотя бы одно простое число.
3) Совершенные числа — это числа, равные сумме всех своих делителей, кроме самого числа. Сегодня известно 48 таких чисел.
II уровень
1. Высказывание неверно. Например, числа 7 и 5 не делятся на 6, но их сумма $$7+5=12$$ делится на 6.
2. Пусть дописанная цифра — $$x$$. Тогда число имеет вид $$723x$$.
Чтобы число делилось на 9, сумма цифр должна делиться на 9:
$$7+2+3+x=12+x.$$
Чтобы число делилось на 4, последние две цифры $$3x$$ должны делиться на 4. Подходит только $$36$$, значит, $$x=6$$.
Получаем число $$7236$$, оно делится и на 9, и на 4.
3. Делители числа 48:
$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 16,\ 24,\ 48.$$
4. Разложим числа на множители:
$$8=2 \cdot 2 \cdot 2,\quad 15=3 \cdot 5,\quad 10=2 \cdot 5,\quad 13 \text{ — простое число}.$$
Взаимно простые числа не имеют общих делителей, кроме 1. Тогда пары взаимно простых чисел:
$$8 \text{ и } 15,\quad 8 \text{ и } 13,\quad 15 \text{ и } 13,\quad 10 \text{ и } 13.$$
5. $$7 \cdot 8 \cdot 11 \cdot 27 + 11 = 11 \cdot (7 \cdot 8 \cdot 27 + 1).$$
Это число составное, так как делится на 11 и больше 11.
6. Разложим числа на простые множители:
$$1925=5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11,$$
$$70=2 \cdot 5 \cdot 7,$$
$$105=3 \cdot 5 \cdot 7.$$
НОД равен произведению общих простых множителей с наименьшими степенями:
$$\gcd(1925,70,105)=5 \cdot 7=35.$$
НОК равен произведению всех простых множителей с наибольшими степенями:
$$\operatorname{lcm}(1925,70,105)=2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11=11550.$$
7. Найдём делитель:
$$355=27 \cdot d + 4,$$
$$d=\frac{355-4}{27}=\frac{351}{27}=13.$$
8. Диалоги из § 17:
1) Решето Эратосфена — это способ нахождения простых чисел.
2) В школе Пифагора знали три совершенных числа: 6, 28 и 496.
3) Число 28 совершенное, потому что сумма его делителей, меньших самого числа, равна ему:
$$1+2+4+7+14=28.$$
Ответ
I уровень: 1) 1 и 3; 2) 900, 738, 570; 3) $$\gcd(9,6)=3,$$ $$\operatorname{lcm}(9,6)=18,$$ $$\gcd(54,28)=2,$$ $$\operatorname{lcm}(54,28)=756$$; 4) $$2658:13=204$$ (ост. 6); 5) см. выше.
II уровень: 1) неверно; 2) 6; 3) $$1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$$; 4) $$8$$ и $$15$$, $$8$$ и $$13$$, $$15$$ и $$13$$, $$10$$ и $$13$$; 5) составное; 6) $$\gcd=35,$$ $$\operatorname{lcm}=11550$$; 7) 13; 8) см. выше.
