Упр.962 Часть 2 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Задача

Найди значение выражения (в скобках указано число знаков после запятой в последнем множителе):

а) $$0{,}1 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}001 \cdot \ldots \cdot 0{,}00\ldots01$$ (9 знаков);

б) $$0{,}2 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}002 \cdot \ldots \cdot 0{,}00\ldots02$$ (9 знаков);

в) $$0{,}1 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}001 \cdot \ldots \cdot 0{,}00\ldots01$$ (99 знаков);

г) $$0{,}1 \cdot 0{,}001 \cdot 0{,}00001 \cdot \ldots \cdot 0{,}00\ldots01$$ (99 знаков);

д) $$0{,}1 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}001 \cdot \ldots \cdot 0{,}00\ldots01$$ (999 знаков).

Подробный ответ

Заметим, что каждый множитель вида $$0,1$$, $$0,01$$, $$0,001$$ и т. д. содержит в записи после запятой соответственно 1, 2, 3 и т. д. знаков. При перемножении таких чисел количество знаков после запятой в произведении равно сумме этих чисел.

а) В произведении стоят числа с 1, 2, 3, …, 9 знаками после запятой. Тогда

$$1+2+3+\dots+9=45$$

Значит, в ответе будет 45 знаков после запятой:

$$0,00\dots 01$$

б) Здесь множители имеют 1, 2, 3, …, 9 знаков после запятой, а последний множитель равен $$0,00\dots 02$$, то есть число $$2$$ стоит на 9-м месте после запятой. Тогда произведение равно

$$2^9=512$$

и число знаков после запятой в произведении равно

$$1+2+3+\dots+9=45.$$

Следовательно, получаем

$$0,00\dots 0512$$

в) Сумма чисел от 1 до 99:

$$1+2+3+\dots+99=\frac{99\cdot 100}{2}=4950.$$

Значит, в произведении будет 4950 знаков после запятой, а само произведение равно

$$0,00\dots 01.$$

г) Здесь берутся числа с нечётным количеством знаков после запятой: 1, 3, 5, …, 99. Их сумма:

$$1+3+5+\dots+99$$

Это сумма 50 нечётных чисел, разбитых на 25 пар: