Упр.722 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Сравни: 1) $$5^3$$ и $$5 \cdot 3$$; 2) $$48 \cdot 2$$ и $$48^2$$; 3) $$100^5$$ и $$100 \cdot 5$$. Что общего в каждой паре выражений? Существуют ли натуральные значения $$a$$ и $$n$$, при которых выполняются соотношения: 1) $$a^n < a \cdot n$$; 2) $$a^n > a \cdot n$$; 3) $$a^n = a \cdot n$$?

Сравним значения выражений:

$$5^3=125,\quad 5\cdot 3=15,$$
значит,
$$5^3>5\cdot 3.$$

$$48\cdot 2=96,\quad 48^2=2304,$$
значит,
$$48\cdot 2<48^2.$$

$$100^5=10\,000\,000\,000,\quad 100\cdot 5=500,$$
значит,
$$100^5>100\cdot 5.$$

Во всех трёх парах сравниваются число в степени и произведение этого же числа на показатель степени.

Теперь рассмотрим общие случаи.

1) Чтобы выполнялось $$a^n<a\cdot n,$$ достаточно взять $$a=1$$ и $$n>1$$, тогда $$1^n=1<n=1\cdot n.$$

2) Чтобы выполнялось $$a^n>a\cdot n,$$ можно взять любое $$a>1$$ и $$n>1$$: степень растёт быстрее произведения, поэтому неравенство верно.

3) Равенство $$a^n=a\cdot n$$ возможно, например, при $$a=1$$ и любом $$n$$, так как $$1^n=1$$ и $$1\cdot n=n$$; равенство получается только в частных случаях, например при $$a=1,\ n=1$$.

Ответ

1) $$5^3>5\cdot 3$$; 2) $$48\cdot 2<48^2$$; 3) $$100^5>100\cdot 5$$.

Общее: сравниваются число в степени и произведение этого же числа на показатель степени.

$$a^n<a\cdot n$$ — при $$a=1,\ n>1$$; $$a^n>a\cdot n$$ — при $$a>1,\ n>1$$; $$a^n=a\cdot n$$ — в частных случаях, например при $$a=1,\ n=1$$.