Упр.111 Часть 1 ГДЗ Дорофеев Петерсон 5 класс (Математика)

Задача

Одну из сторон квадрата увеличили на $$4\ \text{дм}$$, а другую уменьшили на $$6\ \text{дм}$$. В результате получили прямоугольник площадью $$56\ \text{дм}^2$$. Найти длину стороны квадрата.
Велосипедист предполагал проехать дистанцию в $$120\ \text{км}$$ с некоторой скоростью. Но он ехал со скоростью на $$6\ \text{км/ч}$$ меньшей и поэтому прибыл в пункт назначения на $$1\ \text{ч}$$ позже, чем предполагал. С какой скоростью ехал велосипедист?
Гале $$8$$ лет, а её маме $$34$$ года. Через сколько лет Галя будет в $$2$$ раза младше мамы?
У Толи было $$50$$ тетрадей в клетку и $$40$$ тетрадей в линейку. В месяц он расходовал по $$6$$ тетрадей в клетку и по $$4$$ в линейку. Через сколько месяцев количество тетрадей обоих видов стало одинаковым?

Подробный ответ

1) Пусть сторона квадрата равна $$x$$ дм. Тогда длина прямоугольника будет $$x+4$$ дм, а ширина — $$x-6$$ дм. По условию его площадь равна $$56$$ дм², значит:

$$(x+4)(x-6)=56$$

Раскроем скобки:

$$x^2-2x-24=56$$

$$x^2-2x-80=0$$

$$(x-10)(x+8)=0$$

Так как длина стороны квадрата не может быть отрицательной, получаем $$x=10$$.

2) Пусть велосипедист планировал ехать со скоростью $$x$$ км/ч. Тогда по плану он должен был затратить на путь $$120:x$$ ч, а фактически ехал со скоростью $$x-6$$ км/ч и затратил $$120:(x-6)$$ ч. По условию он прибыл на 1 час позже:

$$120:(x-6)=120:x+1$$

Умножим на $$x(x-6)$$:

$$120x=120(x-6)+x(x-6)$$

$$120x=120x-720+x^2-6x$$

$$x^2-6x-720=0$$

$$(x-30)(x+24)=0$$

Подходит $$x=30$$, значит фактическая скорость:

$$30-6=24$$

3) Пусть через $$x$$ лет Галя будет в 2 раза младше мамы, то есть возраст мамы будет вдвое больше возраста Гали. Тогда:

$$34+x=2(8+x)$$

$$34+x=16+2x$$

$$x=18$$

Значит, через 18 лет.

4) Пусть через $$x$$ месяцев количество тетрадей станет одинаковым. Тогда тетрадей в клетку останется $$50-6x$$, а в линейку — $$40-4x$$. Составим уравнение:

$$50-6x=40-4x$$

$$10=2x$$

$$x=5$$

Значит, через 5 месяцев.