Упр.69 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

69

1. а)

   $$\frac{17}{5x}=2-\frac{7}{x}, \qquad x\ne 0$$

   Умножим обе части на $$5x$$:

   $$17=10x-35$$
   $$10x=52$$
   $$x=5{,}2$$

2. б)

   $$\frac{x-1}{x+1}-3\cdot\frac{x+1}{x-1}+2=0, \qquad x\ne -1,\; x\ne 1$$

   Умножим обе части на $$ (x+1)(x-1) $$:

   $$(x-1)^2-3(x+1)^2+2(x^2-1)=0$$
   $$x^2-2x+1-3(x^2+2x+1)+2x^2-2=0$$
   $$-8x-4=0$$
   $$x=-0{,}5$$

3. в)

   $$\frac{3x-6}{2x}+\frac{4x}{x-2}-5=0, \qquad x\ne 0,\; x\ne 2$$

   Умножим обе части на $$2x(x-2)$$:

   $$(3x-6)(x-2)+8x^2-10x(x-2)=0$$
   $$3x(x-2)-6(x-2)+8x^2-10x^2+20x=0$$
   $$x^2+8x+12=0$$
   $$(x+2)(x+6)=0$$

   $$x=-2 \quad \text{или} \quad x=-6$$

4. г)

   $$\frac{3}{x+2}-\frac{2x-1}{x+1}=\frac{2x+1}{x^2+3x+2}, \qquad x\ne -2,\; x\ne -1$$

   Так как $$x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$$, умножим обе части на $$ (x+2)(x+1) $$:

   $$3(x+1)-(2x-1)(x+2)=2x+1$$
   $$3x+3-(2x^2+3x-2)=2x+1$$
   $$-2x^2-2x+5=2x+1$$
   $$2x^2+4x-4=0$$
   $$x^2+2x-2=0$$

   $$x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$$

5. д)

   $$\left(\frac{x^3+8}{x^3+4x^2+4x}-\frac{2}{x+2}\right)(x-2)^{-2}=\frac13$$

   $$x^3+4x^2+4x=x(x+2)^2, \qquad x\ne 0,\; x\ne -2,\; x\ne 2$$

   Преобразуем выражение в скобках:

   $$\frac{x^3+8}{x(x+2)^2}-\frac{2}{x+2} =\frac{(x+2)(x^2-2x+4)-2x(x+2)}{x(x+2)^2}$$
   $$=\frac{(x+2)(x^2-4x+4)}{x(x+2)^2} =\frac{(x-2)^2}{x(x+2)}$$

   Тогда

   $$\frac{(x-2)^2}{x(x+2)}\cdot\frac{1}{(x-2)^2}=\frac13$$
   $$\frac{1}{x(x+2)}=\frac13$$
   $$x(x+2)=3$$
   $$x^2+2x-3=0$$
   $$(x+3)(x-1)=0$$

   $$x=-3 \quad \text{или} \quad x=1$$

Ответ

а) $$x=5{,}2$$; б) $$x=-0{,}5$$; в) $$x=-2,\,-6$$; г) $$x=-1-\sqrt{3},\,-1+\sqrt{3}$$; д) $$x=-3,\;1$$