Упр.54 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 54 (ВШЭ), а) у = корень log2 (х2 — 2х — 2); б) у = корень log 4(х2 — 4х- 4)

а) Для функции $$y=\sqrt{\log_2(x^2-2x-2)}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а логарифм определён при положительном аргументе. Поэтому решаем систему:

$$ \begin{cases} x^2-2x-2>0,\\ \log_2(x^2-2x-2)\ge 0. \end{cases} $$

Так как основание логарифма $$2>1,$$ то

$$ \log_2(x^2-2x-2)\ge 0 \iff x^2-2x-2\ge 1. $$

Тогда

$$ x^2-2x-3\ge 0. $$

Разложим на множители:

$$ x^2-2x-3=(x-3)(x+1). $$

Получаем

$$ (x-3)(x+1)\ge 0, $$

откуда

$$ x\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty). $$

б) Для функции $$y=\sqrt{\log_4(x^2-4x-4)}$$ аналогично:

$$ \begin{cases} x^2-4x-4>0,\\ \log_4(x^2-4x-4)\ge 0. \end{cases} $$

Так как основание логарифма $$4>1,$$ то

$$ \log_4(x^2-4x-4)\ge 0 \iff x^2-4x-4\ge 1. $$

Следовательно,

$$ x^2-4x-5\ge 0. $$

Разложим на множители:

$$ x^2-4x-5=(x-5)(x+1). $$

Тогда

$$ (x-5)(x+1)\ge 0, $$

откуда

$$ x\in(-\infty;-1]\cup[5;+\infty). $$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty);$$ б) $$x\in(-\infty;-1]\cup[5;+\infty).$$