Упр.262 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) От пристани по водохранилищу со скоростью 10 км/ч начала двигаться яхта. Спустя полтора часа от той же пристани за яхтой последовали два катера с постоянными скоростями, причем скорость первого катера составляла 4/3 скорости второго.
Найдите скорость первого катера, если известно, что он догнал яхту на 15 мин раньше, чем второй.

а) Пусть $$x$$ км/ч — скорость легкового автомобиля, тогда скорость грузовика равна $$\frac{3}{4}x$$ км/ч.

Обозначим через $$t$$ ч время, через которое легковой автомобиль догнал трактор. Тогда трактор был в пути $$t+1$$ ч, и

$$25(t+1)=xt.$$

Грузовик догнал трактор на $$10$$ мин позже, то есть через $$t+\frac16$$ ч после выезда легкового автомобиля. Тогда трактор был в пути $$t+1+\frac16=t+\frac76$$ ч, и

$$\frac34x\left(t+\frac16\right)=25\left(t+\frac76\right).$$

Из первого уравнения

$$t=\frac{25}{x-25}.$$

Подставим во второе:

$$\frac34x\left(\frac{25}{x-25}+\frac16\right)=25\left(\frac{25}{x-25}+\frac76\right).$$

Умножим на $$6(x-25)$$:

$$18x\cdot 25+3x(x-25)=150\cdot 25+175(x-25).$$

$$3x^2-325x+2500=0.$$

$$D=325^2-4\cdot 3\cdot 2500=75625,$$

$$x=\frac{325\pm 275}{6}.$$

Получаем $$x_1=100$$, $$x_2=\frac{25}{3}$$. Так как скорость грузовика должна быть больше $$25$$ км/ч, подходит $$x=100$$.

Тогда скорость грузовика:

$$\frac34\cdot 100=75$$ км/ч.

б) Пусть $$x$$ км/ч — скорость второго катера, тогда скорость первого катера равна $$\frac43x$$ км/ч.

Обозначим через $$t$$ ч время, через которое первый катер догнал яхту. Тогда яхта была в пути $$t+1{,}5$$ ч, и

$$\frac43xt=10(t+1{,}5).$$

Второй катер догнал яхту на $$15$$ мин позже, то есть через $$t+\frac14$$ ч. Тогда

$$x\left(t+\frac14\right)=10\left(t+1{,}5+\frac14\right)=10\left(t+\frac74\right).$$

Из первого уравнения

$$t=\frac{15}{\frac43x-10}=\frac{45}{4x-30}.$$

Подставим во второе:

$$x\left(\frac{45}{4x-30}+\frac14\right)=10\left(\frac{45}{4x-30}+\frac74\right).$$

Умножим на $$4(4x-30)$$:

$$x(180+4x-30)=10(180+7(4x-30)).$$

$$4x^2-130x+300=0.$$

$$2x^2-65x+150=0.$$

$$D=65^2-4\cdot 2\cdot 150=3025,$$

$$x=\frac{65\pm 55}{4}.$$

Получаем $$x_1=30$$, $$x_2=2{,}5$$. Подходит $$x=30$$.

Тогда скорость первого катера:

$$\frac43\cdot 30=40$$ км/ч.

Ответ

а) $$75$$ км/ч; б) $$40$$ км/ч.