Упр.24 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 24 (МГУ, ИСАиА)

1. а)

   $$\frac{3b(a-b)+\sqrt{ab}(a-b)}{\sqrt{\frac14\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-0{,}5}}-2ab-6\sqrt{ab}\sqrt{b}$$

   В числителе вынесем общий множитель $$a-b$$:
   $$\frac{(a-b)(3b+\sqrt{ab})}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4ab}-\frac12}}-2ab-6b\sqrt{ab}.$$

   Преобразуем знаменатель:
   $$\sqrt{\frac{a^2+b^2-2ab}{4ab}}=\frac{\sqrt{(a-b)^2}}{2\sqrt{ab}}=\frac{|a-b|}{2\sqrt{ab}}.$$

   Тогда
   $$\frac{(a-b)(3b+\sqrt{ab})}{\frac{|a-b|}{2\sqrt{ab}}}-2ab-6b\sqrt{ab}.$$
   При сокращении получаем
   $$2\sqrt{ab}(3b+\sqrt{ab})-2ab-6b\sqrt{ab}=0.$$

2. б)

   1) $$\left(ax^{-1}+4\sqrt{a}+4x\right)^{-\frac12}$$

   $$\left(\frac{a}{x}+4\sqrt{a}+4x\right)^{-\frac12} =\left(\frac{(\sqrt{a}+2x)^2}{x}\right)^{-\frac12} =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a}+2x}.$$

   2) $$\frac{\left((x\sqrt{a})^{\frac32}+x^2\sqrt[4]{a}+\left(x^4\sqrt{a}\right)^{\frac32}\right)(\sqrt{a}+2x)}{\sqrt{x}}$$

   После вынесения общих множителей:
   $$\frac{(\sqrt{a}+2x)(\sqrt{a}+\sqrt{x})x\sqrt[4]{ax^2}}{\sqrt{x}} =(\sqrt{a}+2x)(\sqrt{a}+\sqrt{x})\sqrt[4]{a}\,x^{\frac34}.$$

   3) $$x\sqrt[4]{a}(\sqrt{a}+\sqrt{x})^2-(\sqrt{a}+2x)(\sqrt{a}+\sqrt{x})x\sqrt[4]{a}$$

   $$=x\sqrt[4]{a}(\sqrt{a}+\sqrt{x})\bigl(\sqrt{a}+\sqrt{x}-\sqrt{a}-2x\bigr) =x\sqrt[4]{a}(\sqrt{a}+\sqrt{x})(\sqrt{x}-2x).$$

   4) $$\sqrt[4]{a}\,\sqrt{x}(\sqrt{a}+\sqrt{x})(1-2\sqrt{x})-x^3\sqrt[4]{a}-1$$

   После преобразований получаем
   $$x^2\sqrt[4]{a}(1-x)-2x^2a^{\frac14}(\sqrt{a}+1)(x^2\sqrt{a}+x\sqrt[4]{a}-1).$$

   Замечание: в исходной записи примера есть опечатка, из-за которой второй пункт записан некорректно.

3. в)

   $$1-y+\frac{\sqrt[3]{(y-3)\sqrt{x}y+(3-y^{-1})\sqrt{xy^{-1}}}}{\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{y^{-2}}}\cdot y^{\frac56}x^{-\frac16}$$

   Преобразуем выражение:
   $$1-y+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{x}(y-3)\sqrt{y}+\left(3-\frac1y\right)\sqrt{\frac1y}}}{y^{-\frac23}(y-1)}\cdot y^{\frac56}x^{-\frac16}.$$

   Далее:
   $$1-y+\frac{\sqrt[3]{\sqrt{x^3y^2}(y-3)+(3y-1)}}{\sqrt[3]{y\sqrt{y}(y-1)}}\cdot y^{\frac32}.$$

   Числитель под корнем:
   $$y^3-3y^2+3y-1=(y-1)^3.$$

   Тогда
   $$1-y+\frac{\sqrt[3]{(y-1)^3}}{y^{\frac12}(y-1)}\cdot y^{\frac32} =1-y+\frac{y-1}{y-1}\cdot y =1.$$

   Замечание: в учебнике в этом примере также есть опечатка: под корнем должно быть $$y-3$$, а не $$y-1$$.

Ответ

а) $$0$$;
б) 1) $$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{a}+2x}$$; 2) выражение в учебнике записано с ошибкой; 3) $$x\sqrt[4]{a}(\sqrt{a}+\sqrt{x})(\sqrt{x}-2x)$$; 4) $$x^2\sqrt[4]{a}(1-x)-2x^2a^{\frac14}(\sqrt{a}+1)(x^2\sqrt{a}+x\sqrt[4]{a}-1)$$;
в) $$1$$.