Упр.194 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
194 (МГТУ).
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{4^{\frac{1}{x}}-4}{2+x}<0.$$
Преобразуем числитель:
$$4^{\frac{1}{x}}-4=4^{\frac{1}{x}}-4^1.$$
Так как основание $$4>0$$ и $$4\ne 1$$, то знак числителя определяется сравнением показателей:
$$\frac{1}{x}-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$
Знаменатель обращается в нуль при
$$x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2.$$
Решаем методом интервалов для точек $$-2$$ и $$1$$. Знак выражения отрицателен на промежутках
$$(-2;0)\cup(1;+\infty).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{2^{\frac{1}{x}}-2}{x-2}>0.$$
Числитель равен нулю при
$$2^{\frac{1}{x}}-2=0 \quad \Rightarrow \quad 2^{\frac{1}{x}}=2^1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x}=1 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$
Знаменатель обращается в нуль при
$$x-2=0 \quad \Rightarrow \quad x=2.$$
По методу интервалов получаем, что выражение положительно на промежутках
$$(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$
в) Рассмотрим неравенство
$$\frac{2^{-\frac{1}{x}}-2}{x+2}<0.$$
Числитель равен нулю при
$$2^{-\frac{1}{x}}-2=0 \quad \Rightarrow \quad 2^{-\frac{1}{x}}=2^1 \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{x}=1 \quad \Rightarrow \quad x=-1.$$
Знаменатель обращается в нуль при
$$x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2.$$
По методу интервалов выражение отрицательно на промежутках
$$(-2;-1)\cup(2;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-2;0)\cup(1;+\infty)$$; б) $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$; в) $$(-2;-1)\cup(2;+\infty)$$.
