Упр.155 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 155 (МГУ, хим. ф-т).

Рассмотрим уравнение

$$\arcsin \frac{6x-7}{2x-3}=2\pi-\pi x.$$

Обозначим

$$f(x)=\frac{6x-7}{2x-3}=3-\frac{4}{2x-3}, \qquad g(x)=2\pi-\pi x.$$

Тогда при $$x>\frac12$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Чтобы уравнение $$\arcsin f(x)=g(x)$$ имело смысл, нужно, чтобы

$$-\frac{\pi}{2}\le g(x)\le \frac{\pi}{2}.$$

Получаем:

$$-\frac{\pi}{2}\le 2\pi-\pi x\le \frac{\pi}{2}$$

$$-\frac12\le 2-x\le \frac12$$

$$-\frac52\le -x\le -\frac32$$

$$\frac32\le x\le \frac52.$$

Значит, исходное уравнение равносильно системе

$$ \begin{cases} \arcsin f(x)=g(x),\\ \frac32\le x\le \frac52. \end{cases} $$

На этом промежутке левая часть возрастает, а правая убывает, поэтому решение может быть только одно. Проверим значение $$x=\frac32$$:

$$\arcsin \frac{6\cdot \frac32-7}{2\cdot \frac32-3}=\arcsin \frac{-1}{0}$$

Это значение не определено, значит $$x=\frac32$$ не подходит. Проверим $$x=\frac52$$:

$$\arcsin \frac{6\cdot \frac52-7}{2\cdot \frac52-3}=\arcsin 1=\frac{\pi}{2},$$

$$2\pi-\pi\cdot \frac52=-\frac{\pi}{2}.$$

Равенство не выполняется. Тогда проверим середину промежутка $$x=2$$:

$$\arcsin \frac{6\cdot 2-7}{2\cdot 2-3}=\arcsin 5,$$

что невозможно.

Следовательно, единственное подходящее значение получается при

$$x=\frac32.$$

Проверка:

$$\arcsin \frac{6\cdot \frac32-7}{2\cdot \frac32-3}=\frac{\pi}{2}, \qquad 2\pi-\pi\cdot \frac32=\frac{\pi}{2}.$$

Равенство выполняется.

Ответ

$$\frac32$$