Упр.138 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 138

1. $$\sqrt{3x+5}-\frac{1}{\sqrt{3x+5}}=\sqrt{5x-3}-\frac{1}{\sqrt{5x-3}}$$

   Область определения:
   $$3x+5>0,\quad 5x-3>0$$
   значит
   $$x>\frac35.$$

   Сделаем замену:
   $$\sqrt{3x+5}=a,\quad \sqrt{5x-3}=b.$$
   Тогда
   $$a-\frac1a=b-\frac1b.$$

   Преобразуем:
   $$ \frac{a^2-1}{a}=\frac{b^2-1}{b} $$
   $$ b(a^2-1)=a(b^2-1) $$
   $$ ab^2-b=ab^2-a $$
   $$ ab(a-b)+(a-b)=0 $$
   $$ (a-b)(ab+1)=0. $$

   Отсюда:
   $$a=b \quad \text{или} \quad ab=-1.$$
   Второе уравнение корней не имеет, так как $a>0$, $b>0$.

   Решаем первое:
   $$ \sqrt{3x+5}=\sqrt{5x-3} $$
   $$ 3x+5=5x-3 $$
   $$ -2x+8=0 $$
   $$x=4.$$

2. $$\sqrt{7x+1002}-\sqrt{8x-1000}=\frac1{\sqrt{7x+1002}}-\frac1{\sqrt{8x-1000}}$$

   Область определения:
   $$7x+1002>0,\quad 8x-1000>0,$$
   значит
   $$x>125.$$

   Сделаем замену:
   $$\sqrt{7x+1002}=a,\quad \sqrt{8x-1000}=b.$$
   Тогда
   $$a-b=\frac1a-\frac1b.$$

   Аналогично получаем:
   $$ (a-b)(ab+1)=0. $$
   Так как $a>0$, $b>0$, то уравнение $ab=-1$ решений не имеет.

   Решаем первое:
   $$ \sqrt{7x+1002}=\sqrt{8x-1000} $$
   $$ 7x+1002=8x-1000 $$
   $$ x=2002. $$

3. $$\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x+2}}-\frac{\sqrt{2x-0{,}5}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{2x+3}}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x-0{,}5}}$$

   Область определения:
   $$2x+3>0,\quad x+2>0,\quad 2x-0{,}5>0,\quad x>0,$$
   значит
   $$x>\frac14.$$

   Сделаем замену:
   $$\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x+2}}=a,\quad \frac{\sqrt{2x-0{,}5}}{\sqrt{x}}=b.$$
   Тогда
   $$a-\frac1a=b-\frac1b.$$

   Получаем:
   $$ (a-b)(ab+1)=0. $$
   Второе уравнение корней не имеет, так как $a>0$, $b>0$.

   Решаем первое:
   $$ \frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x+2}}=\frac{\sqrt{2x-0{,}5}}{\sqrt{x}} $$
   $$ \frac{2x+3}{x+2}=\frac{2x-0{,}5}{x} $$
   $$ 2x^2+3x=2x^2+4x-0{,}5x-1 $$
   $$ 0{,}5x=1 $$
   $$x=2.$$

4. $$\sqrt{x^2+3}+\frac1{\sqrt{x^2+3}}=\sqrt{x^2+x+2}+\frac1{\sqrt{x^2+x+2}}$$

   Сделаем замену:
   $$\sqrt{x^2+3}=a,\quad \sqrt{x^2+x+2}=b.$$
   Тогда
   $$a+\frac1a=b+\frac1b.$$

   Преобразуем:
   $$ \frac{a^2+1}{a}=\frac{b^2+1}{b} $$
   $$ b(a^2+1)=a(b^2+1) $$
   $$ ab^2-b=ab^2-a $$
   $$ (a-b)(ab-1)=0. $$

   Отсюда:
   $$a=b \quad \text{или} \quad ab=1.$$
   Второе уравнение решений не имеет, так как
   $$\sqrt{x^2+3}\ge \sqrt3,\quad \sqrt{x^2+x+2}\ge \sqrt{\frac74},$$
   и произведение не может равняться $1$.

   Решаем первое:
   $$ \sqrt{x^2+3}=\sqrt{x^2+x+2} $$
   $$ x^2+3=x^2+x+2 $$
   $$ x=1. $$

5. $$\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2x^2-4x+5}=\frac1{\sqrt{2x^2-4x+5}}-\frac1{\sqrt{x^2+1}}$$

   Сделаем замену:
   $$\sqrt{x^2+1}=a,\quad \sqrt{2x^2-4x+5}=b.$$
   Тогда
   $$a-b=\frac1b-\frac1a.$$

   Получаем:
   $$ (a-b)(ab-1)=0. $$
   Второе уравнение решений не имеет, так как
   $$x^2+1>1,\quad 2x^2-4x+5=2(x-1)^2+3>1,$$
   значит
   $$ab>1.$$

   Решаем первое:
   $$ \sqrt{x^2+1}=\sqrt{2x^2-4x+5} $$
   $$ x^2+1=2x^2-4x+5 $$
   $$ -x^2+4x-4=0 $$
   $$ (x-2)^2=0 $$
   $$x=2.$$

6. $$\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2x^2+9x+21}=\frac1{\sqrt{2x^2+9x+21}}-\frac1{\sqrt{x^2+1}}$$

   Сделаем замену:
   $$\sqrt{x^2+1}=a,\quad \sqrt{2x^2+9x+21}=b.$$
   Тогда
   $$a-b=\frac1b-\frac1a.$$

   Получаем:
   $$ (a-b)(ab-1)=0. $$
   Второе уравнение решений не имеет, так как
   $$x^2+1\ge 1,\quad 2x^2+9x+21=2\left(x+\frac94\right)^2+\frac{87}{8}>1,$$
   значит
   $$ab>1.$$

   Решаем первое:
   $$ \sqrt{x^2+1}=\sqrt{2x^2+9x+21} $$
   $$ x^2+1=2x^2+9x+21 $$
   $$ x^2+9x+20=0 $$
   $$ (x+4)(x+5)=0 $$
   $$x=-4 \quad \text{или} \quad x=-5.$$

Ответ

а) $$4$$; б) $$2002$$; в) $$2$$; г) $$1$$; д) $$2$$; е) $$-4,\,-5$$.