Упр.9.26 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

9.26* a) log2(x — 2) + log2(x — 3) = log2 (x2 — 5х + 6);
б) log3(х — 3) + log3 (4 — х) = log3(- х2 + 7х — 12);
в) lg (х2 — 5х + 6) + lg (5х — х2 -4) = lg ((х2 — 5х + 6) (5х — х2 — 4)).

а) Рассмотрим область допустимых значений:

$$x-2>0,\quad x-3>0.$$

Тогда $$x>3.$$

Кроме того,

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Левая и правая части уравнения совпадают при всех значениях из ОДЗ, значит, решение:

$$x\in(3;+\infty).$$

б) Найдём ОДЗ:

$$x-3>0,\quad 4-x>0.$$

Отсюда

$$3<x<4.$$

Также

$$-x^2+7x-12=-(x-3)(x-4)=(x-3)(4-x).$$

Следовательно, уравнение верно при всех значениях из ОДЗ:

$$x\in(3;4).$$

в) Запишем условия существования логарифмов:

$$x^2-5x+6>0,\quad 5x-x^2-4>0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$

$$5x-x^2-4=(x-1)(4-x).$$

Тогда получаем систему неравенств:

$$ \begin{cases} (x-2)(x-3)>0,\\ (x-1)(4-x)>0. \end{cases} $$

Из первого неравенства:

$$x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty).$$

Из второго:

$$x\in(1;4).$$

Пересечение множеств:

$$x\in(1;2)\cup(3;4).$$

Ответ

а) $$x\in(3;+\infty)$$; б) $$x\in(3;4)$$; в) $$x\in(1;2)\cup(3;4)$$.