Упр.9.19 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) (cos2x — 7cosx+4) * корень (log1/2(x-3) +1)) =0;
в) (4^(4-x) — 2^(x-1))log2(x) =0;
г) (4^(5-x) — 2^(x-1))log3(x) =0.

Подробный ответ

а) Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$ \begin{cases} \cos 2x-3\cos x-1=0,\\ \log_{\frac13}(x-2)+2\ge 0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \log_{\frac13}(x-2)+2=0,\\ x\in \mathbb R \end{cases} $$
Решим первое уравнение:
$$ \cos 2x-3\cos x-1=0 $$
$$ 2\cos^2 x-1-3\cos x-1=0 $$
$$ 2\cos^2 x-3\cos x-2=0 $$
Положим $$t=\cos x$$, тогда $$-1\le t\le 1$$:
$$ 2t^2-3t-2=0 $$
$$ D=25,\qquad t_1=2,\qquad t_2=-\frac12 $$
Значение $$t=2$$ не подходит, поэтому
$$ \cos x=-\frac12 $$
$$ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z $$
Теперь решим неравенство:
$$ \log_{\frac13}(x-2)+2\ge 0 $$
$$ \log_{\frac13}(x-2)\ge -2 $$
Так как $$\frac13<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:
$$ x-2\le \left(\frac13\right)^{-2}=9,\qquad x>2 $$
$$ 2<x\le 11 $$
Из найденных корней этому промежутку удовлетворяют:
$$ x=\frac{2\pi}{3},\qquad x=\frac{4\pi}{3} $$
Решим вторую систему:
$$ \log_{\frac13}(x-2)+2=0 $$
$$ \log_{\frac13}(x-2)=-2 $$
$$ x-2=\left(\frac13\right)^{-2}=9 $$
$$ x=11 $$
б) Аналогично получаем:
$$ \begin{cases} \cos 2x+7\cos x+4=0,\\ \log_{\frac12}(x-3)+1\ge 0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \log_{\frac12}(x-3)+1=0,\\ x\in \mathbb R \end{cases} $$
Решим первое уравнение:
$$ \cos 2x+7\cos x+4=0 $$
$$ 2\cos^2 x-1+7\cos x+4=0 $$
$$ 2\cos^2 x+7\cos x+3=0 $$
Положим $$t=\cos x$$:
$$ 2t^2+7t+3=0 $$
$$ D=25,\qquad t_1=-3,\qquad t_2=-\frac12 $$
Значение $$t=-3$$ не подходит, поэтому
$$ \cos x=-\frac12 $$
$$ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z $$
Решим неравенство:
$$ \log_{\frac12}(x-3)+1\ge 0 $$
$$ \log_{\frac12}(x-3)\ge -1 $$
Так как $$\frac12<1$$, получаем:
$$ x-3\le \left(\frac12\right)^{-1}=2,\qquad x>3 $$
$$ 3<x\le 5 $$
Из корней уравнения этому промежутку не удовлетворяет ни один.
Решим вторую систему:
$$ \log_{\frac12}(x-3)=-1 $$
$$ x-3=\left(\frac12\right)^{-1}=2 $$
$$ x=5 $$
в) Рассмотрим уравнение:
$$ \left(4^{4-x}-2^{x-1}\right)\log_2 x=0 $$
Тогда
$$ \begin{cases} 4^{4-x}-2^{x-1}=0,\\ x>0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \log_2 x=0,\\ x>0 \end{cases} $$
1) $$4^{4-x}-2^{x-1}=0$$:
$$ 2^{8-2x}-2^{x-1}=0 $$
Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$:
$$ \frac{2^8}{t^2}-\frac{t}{2}=0 $$
$$ 2^9=t^3 $$
$$ t=2^3 $$
$$ 2^x=2^3,\qquad x=3 $$
2) $$\log_2 x=0$$:
$$ x=1 $$
г) Аналогично:
$$ \left(4^{5-x}-2^{x-1}\right)\log_3 x=0 $$
Тогда
$$ \begin{cases} 4^{5-x}-2^{x-1}=0,\\ x>0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \log_3 x=0,\\ x>0 \end{cases} $$
1) $$4^{5-x}-2^{x-1}=0$$:
$$ 2^{10-2x}-2^{x-1}=0 $$
Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$:
$$ \frac{2^{10}}{t^2}-\frac{t}{2}=0 $$
$$ 2^{11}=t^3 $$
$$ t=2^{\frac{11}{3}} $$
$$ 2^x=2^{\frac{11}{3}},\qquad x=\frac{11}{3} $$
2) $$\log_3 x=0$$:
$$ x=1 $$