Упр.9.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) корень (2log4(x)) = корень (log^2 4(x) — 8);
в) корень (1-4log1/2(x)) = корень (6-log^2 1/2(x));
г) корень (2-log1/3(x)) = корень (log^2 1/3(x) — 4).

Подробный ответ

а) Обозначим $$t=\log_3 x.$$ Тогда получаем систему
$$ \begin{cases} t+1=t^2-5,\\ t+1\ge 0. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ t^2-t-6=0, $$
$$ (t-3)(t+2)=0, $$
$$ t=3 \text{ или } t=-2. $$
Условию $$t\ge -1$$ удовлетворяет только $$t=3$$. Тогда
$$ \log_3 x=3,\quad x=27. $$
б) Обозначим $$t=\log_4 x.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 2t=t^2-8,\\ 2t\ge 0. \end{cases} $$
Получаем:
$$ t^2-2t-8=0, $$
$$ (t-4)(t+2)=0, $$
$$ t=4 \text{ или } t=-2. $$
Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=4$$. Тогда
$$ \log_4 x=4,\quad x=256. $$
в) Обозначим $$t=\log_{\frac12} x.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 1-4t=6-t^2,\\ 1-4t\ge 0. \end{cases} $$
Имеем:
$$ t^2-4t-5=0, $$
$$ (t-5)(t+1)=0, $$
$$ t=5 \text{ или } t=-1. $$
Условию $$t\le \frac14$$ удовлетворяет только $$t=-1$$. Тогда
$$ \log_{\frac12} x=-1,\quad x=2. $$
г) Обозначим $$t=\log_{\frac13} x.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 2-t=t^2-4,\\ 2-t\ge 0. \end{cases} $$
Получаем:
$$ t^2+t-2=0, $$
$$ (t+2)(t-1)=0, $$
$$ t=-2 \text{ или } t=1. $$
Оба корня удовлетворяют условию $$t\le 2$$. Тогда
$$ \log_{\frac13} x=-2 \Rightarrow x=9, $$
$$ \log_{\frac13} x=1 \Rightarrow x=\frac13. $$