Упр.8.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

в) 2log4(x) =1, log4(x2)=1;
г) 3log3(x) = x2, x=x2;
д) log2(x) + log2(x+2) =3, log2(x(x+2))=3;
е) log2(x) — log2(x+2) = log2(2x+10), log2(x/(x+2))= log(2x+10).

Подробный ответ

$$\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x-3}=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$\sqrt{x-2}=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x-3}=0$$
$$x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0$$
$$x=2 \quad \text{или} \quad x=3$$
Проверка области определения: $$x\ge 3$$, значит подходит только $$x=3$$.
$$2\log_4 x=1$$
$$\log_4 x^2=1$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем $$x=2$$.
$$3\log_3 x=x^2$$
Используем свойство логарифма:
$$\log_3 x^3=x^2$$
Отсюда удобно проверить значение $$x=1$$:
$$3\log_3 1=1^2 \Rightarrow 0=1$$
Не подходит. Решение уравнения в действительных числах сводится к проверке допустимых значений; при $$x=3$$:
$$3\log_3 3=3,\quad 3^2=9$$
Не подходит. При $$x=0$$ логарифм не определён. Следовательно, действительных решений нет.
$$\log_2 x+\log_2(x+2)=3$$
Область определения: $$x>0$$.
Сложим логарифмы:
$$\log_2\bigl(x(x+2)\bigr)=3$$
$$x(x+2)=2^3=8$$
$$x^2+2x-8=0$$
$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)=0$$
$$x=2 \quad \text{или} \quad x=-4$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=2$$.
$$\log_2 x-\log_2(x+2)=\log_2(2x+10)$$
Область определения: $$x>0$$.
Используем свойства логарифмов:
$$\log_2\frac{x}{x+2}=\log_2(2x+10)$$
Тогда
$$\frac{x}{x+2}=2x+10$$
$$x=(2x+10)(x+2)$$
$$x=2x^2+14x+20$$
$$2x^2+13x+20=0$$
$$D=13^2-4\cdot 2\cdot 20=169-160=9$$
$$x=\frac{-13\pm 3}{4}$$
$$x_1=-\frac{5}{2},\quad x_2=-4$$
Оба корня не удовлетворяют ОДЗ $$x>0$$, значит решений нет.