Упр.6.23 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) интеграл корень (4-x2)dx;
в) интеграл корень (1-4×2)dx;
г) интеграл корень (1-9×2)dx.

а) Сделаем замену $$x=\sin t,$$ тогда $$dx=\cos t\,dt,$$ а $$\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2 t}=\cos t.$$

Тогда

$$ \int \sqrt{1-x^2}\,dx =\int \cos^2 t\,dt =\int \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt =\frac12 t+\frac14 \sin 2t+C. $$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

$$ \frac12 \arcsin x+\frac14 \sin\bigl(2\arcsin x\bigr)+C. $$

Так как $$\sin(2\arcsin x)=2x\sqrt{1-x^2},$$ то

$$ \int \sqrt{1-x^2}\,dx =\frac12 \arcsin x+\frac12 x\sqrt{1-x^2}+C. $$

б) Пусть $$x=2\sin t,$$ тогда $$dx=2\cos t\,dt,$$ а

$$ \sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-4\sin^2 t}=2\cos t. $$

Следовательно,

$$ \int \sqrt{4-x^2}\,dx =\int 2\cos t\cdot 2\cos t\,dt =4\int \cos^2 t\,dt =4\int \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt. $$

Отсюда

$$ \int \sqrt{4-x^2}\,dx =2t+\sin 2t+C. $$

Так как $$t=\arcsin \frac{x}{2},$$ то

$$ \int \sqrt{4-x^2}\,dx =2\arcsin \frac{x}{2}+\sin\!\left(2\arcsin \frac{x}{2}\right)+C. $$

Поскольку

$$ \sin\!\left(2\arcsin \frac{x}{2}\right) =2\cdot \frac{x}{2}\cdot \sqrt{1-\frac{x^2}{4}} =x\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}, $$

получаем

$$ \int \sqrt{4-x^2}\,dx =2\arcsin \frac{x}{2}+x\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}+C. $$

в) Сделаем замену $$x=\frac12 \sin t,$$ тогда $$dx=\frac12 \cos t\,dt,$$ а

$$ \sqrt{1-4x^2}=\sqrt{1-\sin^2 t}=\cos t. $$

Тогда

$$ \int \sqrt{1-4x^2}\,dx =\frac12 \int \cos^2 t\,dt =\frac12 \int \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt =\frac14 \int (1+\cos 2t)\,dt. $$

Следовательно,

$$ \int \sqrt{1-4x^2}\,dx =\frac14 t+\frac18 \sin 2t+C. $$

Так как $$t=\arcsin 2x,$$ то

$$ \int \sqrt{1-4x^2}\,dx =\frac14 \arcsin 2x+\frac18 \sin(2\arcsin 2x)+C. $$

Но

$$ \sin(2\arcsin 2x)=2\cdot 2x\cdot \sqrt{1-4x^2}=4x\sqrt{1-4x^2}, $$

поэтому

$$ \int \sqrt{1-4x^2}\,dx =\frac14 \arcsin 2x+\frac12 x\sqrt{1-4x^2}+C. $$

г) Пусть $$x=\frac13 \sin t,$$ тогда $$dx=\frac13 \cos t\,dt,$$ а

$$ \sqrt{1-9x^2}=\sqrt{1-\sin^2 t}=\cos t. $$

Тогда

$$ \int \sqrt{1-9x^2}\,dx =\frac13 \int \cos^2 t\,dt =\frac13 \int \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt =\frac16 \int (1+\cos 2t)\,dt. $$

Следовательно,

$$ \int \sqrt{1-9x^2}\,dx =\frac16 t+\frac1{12}\sin 2t+C. $$

Так как $$t=\arcsin 3x,$$ то

$$ \int \sqrt{1-9x^2}\,dx =\frac16 \arcsin 3x+\frac1{12}\sin(2\arcsin 3x)+C. $$

Поскольку

$$ \sin(2\arcsin 3x)=2\cdot 3x\cdot \sqrt{1-9x^2}=6x\sqrt{1-9x^2}, $$

получаем

$$ \int \sqrt{1-9x^2}\,dx =\frac16 \arcsin 3x+\frac12 x\sqrt{1-9x^2}+C. $$

Ответ

а) $$\frac12 \arcsin x+\frac12 x\sqrt{1-x^2}+C$$;

б) $$2\arcsin \frac{x}{2}+x\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}+C$$;

в) $$\frac14 \arcsin 2x+\frac12 x\sqrt{1-4x^2}+C$$;

г) $$\frac16 \arcsin 3x+\frac12 x\sqrt{1-9x^2}+C$$.