Упр.6.19 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
6.19 a) интеграл e3xdx;
б) интеграл 9^2xdx;
в) интеграл sin7xdx;
г) интеграл cos4x dx;
д) интеграл корень 7х — 2 dx;
е) интеграл корень 3 степени (2x+1)2 dx.
а) Пусть $$t=3x$$, тогда $$dt=3dx$$, $$dx=\frac{1}{3}dt$$.
$$\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}\int e^t\,dt=\frac{1}{3}e^t+C=\frac{1}{3}e^{3x}+C.$$
б) Пусть $$t=2x$$, тогда $$dt=2dx$$, $$dx=\frac{1}{2}dt$$.
$$\int 9^{2x}\,dx=\frac{1}{2}\int 9^t\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{9^t}{\ln 9}+C=\frac{9^{2x}}{2\ln 9}+C.$$
в) Пусть $$t=7x$$, тогда $$dt=7dx$$, $$dx=\frac{1}{7}dt$$.
$$\int \sin 7x\,dx=\frac{1}{7}\int \sin t\,dt=-\frac{1}{7}\cos t+C=-\frac{1}{7}\cos 7x+C.$$
г) Пусть $$t=4x$$, тогда $$dt=4dx$$, $$dx=\frac{1}{4}dt$$.
$$\int \cos 4x\,dx=\frac{1}{4}\int \cos t\,dt=\frac{1}{4}\sin t+C=\frac{1}{4}\sin 4x+C.$$
д) Пусть $$t=7x-2$$, тогда $$dt=7dx$$, $$dx=\frac{1}{7}dt$$.
$$\int \sqrt{7x-2}\,dx=\frac{1}{7}\int t^{1/2}\,dt=\frac{1}{7}\cdot\frac{2}{3}t^{3/2}+C=\frac{2}{21}(7x-2)^{3/2}+C.$$
е) Пусть $$t=2x+1$$, тогда $$dt=2dx$$, $$dx=\frac{1}{2}dt$$.
$$\int \sqrt[3]{(2x+1)^2}\,dx=\frac{1}{2}\int \sqrt[3]{t^2}\,dt=\frac{1}{2}\int t^{2/3}\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{5/3}}{5/3}+C=\frac{3}{10}t^{5/3}+C.$$
Следовательно,
$$\int \sqrt[3]{(2x+1)^2}\,dx=\frac{3}{10}(2x+1)^{5/3}+C.$$
Ответ
а) $$\frac{1}{3}e^{3x}+C$$; б) $$\frac{9^{2x}}{2\ln 9}+C$$; в) $$-\frac{1}{7}\cos 7x+C$$; г) $$\frac{1}{4}\sin 4x+C$$; д) $$\frac{2}{21}(7x-2)^{3/2}+C$$; е) $$\frac{3}{10}(2x+1)^{5/3}+C$$.
