Упр.5.60 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) f(x) = x/(x2+5);
б) f(x) = -4x/(x2+1).
Достигает ли функция f(x) в точках локального экстремума своего наибольшего (наименьшего) значения?
а) $$f(x)=\frac{x}{x^2+5}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=\frac{(x^2+5)\cdot 1-x\cdot 2x}{(x^2+5)^2} =\frac{5-x^2}{(x^2+5)^2} =\frac{(\sqrt5-x)(\sqrt5+x)}{(x^2+5)^2}. $$
Критические точки определяются из уравнения $$f'(x)=0$$:
$$5-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm\sqrt5.$$
Знаменатель всегда положителен, поэтому знак $$f'(x)$$ определяется числителем $$5-x^2$$:
при $$x\in(-\infty,-\sqrt5)$$ имеем $$f'(x)<0$$,
при $$x\in(-\sqrt5,\sqrt5)$$ имеем $$f'(x)>0$$,
при $$x\in(\sqrt5,+\infty)$$ имеем $$f'(x)<0$$.Следовательно, $$x=-\sqrt5$$ — точка локального минимума, а $$x=\sqrt5$$ — точка локального максимума.
Найдём значения функции в этих точках:
$$ f(-\sqrt5)=\frac{-\sqrt5}{5+5}=-\frac{\sqrt5}{10},\qquad f(\sqrt5)=\frac{\sqrt5}{5+5}=\frac{\sqrt5}{10}. $$
Так как при $$x\to+\infty$$ и $$x\to-\infty$$
$$ f(x)=\frac{x}{x^2+5}\to 0, $$
то наибольшее и наименьшее значения функция достигает именно в точках локального экстремума.
б) $$f(x)=\frac{-4x}{x^2+1}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$ f'(x)=\frac{-4(x^2+1)-(-4x)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\frac{4x^2-4}{(x^2+1)^2} =\frac{4(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}. $$
Критические точки:
$$4x^2-4=0 \;\Rightarrow\; x=\pm1.$$
Знак производной:
при $$x\in(-\infty,-1)$$ имеем $$f'(x)>0$$,
при $$x\in(-1,1)$$ имеем $$f'(x)<0$$,
при $$x\in(1,+\infty)$$ имеем $$f'(x)>0$$.Значит, $$x=-1$$ — точка локального максимума, а $$x=1$$ — точка локального минимума.
Вычислим значения функции:
$$ f(-1)=\frac{-4\cdot(-1)}{1+1}=2,\qquad f(1)=\frac{-4\cdot 1}{1+1}=-2. $$
Кроме того, при $$x\to+\infty$$ и $$x\to-\infty$$
$$ f(x)=\frac{-4x}{x^2+1}\to 0. $$
Следовательно, в точке $$x=-1$$ функция достигает наибольшего значения, а в точке $$x=1$$ — наименьшего.
Ответ
а) $$x=-\sqrt5$$ — точка локального минимума, $$x=\sqrt5$$ — точка локального максимума; $$f(-\sqrt5)=-\frac{\sqrt5}{10}$$, $$f(\sqrt5)=\frac{\sqrt5}{10}$$. Функция достигает в этих точках соответственно наименьшего и наибольшего значений.
б) $$x=-1$$ — точка локального максимума, $$x=1$$ — точка локального минимума; $$f(-1)=2$$, $$f(1)=-2$$. Функция достигает в этих точках соответственно наибольшего и наименьшего значений.
