Упр.4.64 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) f(x) = корень (3×2+5x+4);
в) f(x) = корень (x2-3x+2);
г) f(x) = корень (4×2-5x+1);
д) f(x) = корень 3 степени (x2-6x+9);
е) f(x) = корень 3 степени (x2+4x+4);
ж) f(x) = корень 3 степени (x2-6x+5);
з) f(x) = корень 3 степени (x2+4x+3).
а) $$f(x)=\sqrt{x^2-3x+10}$$
$$f'(x)=\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x+10}}=\frac{x-1{,}5}{\sqrt{x^2-3x+10}}.$$
Так как $$x^2-3x+10=\left(x-\frac32\right)^2+\frac{31}{4}>0$$ при всех $$x\in\mathbb R,$$ то
$$x\in\mathbb R.$$
б) $$f(x)=\sqrt{3x^2+5x+4}$$
$$f'(x)=\frac{6x+5}{2\sqrt{3x^2+5x+4}}=\frac{3x+2{,}5}{\sqrt{3x^2+5x+4}}.$$
Дискриминант квадратного трёхчлена:
$$D=5^2-4\cdot 3\cdot 4=25-48=-23<0,$$
значит, $$3x^2+5x+4>0$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$ Следовательно,
$$x\in\mathbb R.$$
в) $$f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}$$
$$f'(x)=\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x+2}}=\frac{x-1{,}5}{\sqrt{x^2-3x+2}}.$$
Для существования производной нужно
$$x^2-3x+2>0,$$
то есть
$$\left(x-1\right)\left(x-2\right)>0.$$
Отсюда
$$x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty).$$
г) $$f(x)=\sqrt{4x^2-5x+1}$$
$$f'(x)=\frac{8x-5}{2\sqrt{4x^2-5x+1}}=\frac{4x-2{,}5}{\sqrt{4x^2-5x+1}}.$$
Найдём, где подкоренное выражение положительно:
$$4x^2-5x+1=(4x-1)(x-1).$$
Тогда
$$4x^2-5x+1>0 \iff x\in(-\infty;0{,}25)\cup(1;+\infty).$$
д) $$f(x)=\sqrt[3]{x^2-6x+9}$$
$$f'(x)=\frac{2x-6}{3\sqrt[3]{(x^2-6x+9)^2}}.$$
Так как
$$x^2-6x+9=(x-3)^2,$$
то производная не существует при $$x=3.$$ Следовательно,
$$x\ne 3.$$
е) $$f(x)=\sqrt[3]{x^2+4x+4}$$
$$f'(x)=\frac{2x+4}{3\sqrt[3]{(x^2+4x+4)^2}}.$$
Так как
$$x^2+4x+4=(x+2)^2,$$
то производная не существует при $$x=-2.$$ Значит,
$$x\ne -2.$$
ж) $$f(x)=\sqrt[3]{x^2-6x+5}$$
$$f'(x)=\frac{2x-6}{3\sqrt[3]{(x^2-6x+5)^2}}.$$
Производная не существует, когда
$$x^2-6x+5=0,$$
то есть
$$\left(x-1\right)\left(x-5\right)=0.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;1)\cup(1;5)\cup(5;+\infty).$$
з) $$f(x)=\sqrt[3]{x^2+4x+3}$$
$$f'(x)=\frac{2x+4}{3\sqrt[3]{(x^2+4x+3)^2}}.$$
Производная не существует при
$$x^2+4x+3=0,$$
то есть
$$\left(x+1\right)\left(x+3\right)=0.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;-1)\cup(-1;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in\mathbb R$$;
б) $$x\in\mathbb R$$;
в) $$x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)$$;
г) $$x\in(-\infty;0{,}25)\cup(1;+\infty)$$;
д) $$x\ne 3$$;
е) $$x\ne -2$$;
ж) $$x\in(-\infty;1)\cup(1;5)\cup(5;+\infty)$$;
з) $$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;-1)\cup(-1;+\infty)$$.
