Упр.2.18 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) lim x- > бесконечность (1+1/3x)x;
в) lim x- > бесконечность (1+1/5x)2x;
г) lim x- > бесконечность (1-1/4x)2x.

Используем замечательный предел:

$$\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e.$$

а)

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x}=\left(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)^3=e^3.$$

б)

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{3x}\right)^x=\left(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{3x}\right)^{\frac13}=e^{\frac13}.$$

в)

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{5x}\right)^{2x}=\left(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{5x}\right)^{5x}\right)^{\frac25}=e^{\frac25}.$$

г)

$$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{4x}\right)^{2x}=\left(\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{4x}\right)^{-4x}\right)^{-\frac12}=e^{-\frac12}.$$

Ответ

а) $$e^3$$; б) $$e^{\frac13}$$; в) $$e^{\frac25}$$; г) $$e^{-\frac12}$$.