Упр.14.1 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) Какие системы уравнений называют равносильными?
в) Какие преобразования уравнений системы приводят к системе, равносильной исходной? Приведите примеры.
а) Решением системы уравнений с двумя неизвестными называют такую упорядоченную пару чисел $$\left(x_0, y_0\right),$$ при подстановке которой в каждое уравнение системы получаются верные равенства.
То есть если система имеет вид
$$ \begin{cases} f_1(x,y)=g_1(x,y),\\ f_2(x,y)=g_2(x,y), \end{cases} $$
то пара $$\left(x_0, y_0\right)$$ является её решением, если
$$ \begin{cases} f_1(x_0,y_0)=g_1(x_0,y_0),\\ f_2(x_0,y_0)=g_2(x_0,y_0). \end{cases} $$
б) Равносильными называют системы уравнений, если множества их решений совпадают.
в) К системе, равносильной исходной, приводят такие преобразования:
- перестановка уравнений системы местами;
- перенос членов из одной части уравнения в другую;
- умножение обеих частей одного уравнения на число $$a \ne 0$$;
- преобразования одного из уравнений:
- приведение подобных членов;
- применение формул сокращённого умножения;
- использование тождеств, например $$\sqrt{f^2}=|f|,$$ $$f^2=|f|^2;$$
- применение формул $$a^{f+g}=a^f\cdot a^g,$$ $$a^{f-g}=\dfrac{a^f}{a^g},$$ $$\left(a^f\right)^g=a^{fg} \quad (a>0,\ a\ne 1);$$
- замена одного уравнения системы суммой этого уравнения и какого-либо другого уравнения системы.
Примеры:
$$ \begin{cases} x+y=5,\\ x-y=1 \end{cases} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} x+y=5,\\ 2x=6 \end{cases} $$
или
$$ \begin{cases} x+y=5,\\ x-y=1 \end{cases} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} x+y=5,\\ y=2 \end{cases} $$
Ответ
а) Решение системы — упорядоченная пара чисел, обращающая все уравнения системы в верные равенства.
б) Равносильные системы имеют одинаковые множества решений.
в) Равносильность сохраняют перечисленные выше преобразования: перестановка уравнений, перенос членов, умножение уравнения на $$a \ne 0$$, тождественные преобразования одного уравнения, замена уравнения суммой с другим уравнением.
