Упр.13.19 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

6) log2(x + 4) < -1 - x; в) log0,5(x - 2) > x — 3;
г) log0,5(x + 2) < x - 1.

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство $$\log_2(x+2)>1-x.$$

Область определения: $$x+2>0,\quad x>-2.$$

Функция $$y=\log_2(x+2)$$ возрастает, а функция $$y=1-x$$ убывает. Проверим точку пересечения:

$$\log_2(x+2)=1-x.$$

При $$x=0$$ получаем:

$$\log_2 2=1,\quad 1-0=1.$$

Значит, графики пересекаются в точке $$x=0$$. Так как левая часть возрастает, а правая убывает, то при $$x>0$$ выполняется неравенство $$\log_2(x+2)>1-x,$$ а при $$x<0$$ — нет.

Следовательно,

$$x\in(0;+\infty).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\log_2(x+4)<-1-x.$$

Область определения: $$x+4>0,\quad x>-4.$$

Функция $$y=\log_2(x+4)$$ возрастает, а функция $$y=-1-x$$ убывает. Найдём точку пересечения:

$$\log_2(x+4)=-1-x.$$

При $$x=-3$$:

$$\log_2 1=0,\quad -1-(-3)=2,$$

не подходит. При $$x=-2$$:

$$\log_2 2=1,\quad -1-(-2)=1.$$

Значит, графики пересекаются при $$x=-2$$. Так как левая часть возрастает, а правая убывает, то неравенство $$\log_2(x+4)<-1-x$$ выполняется при $$x<-2$$, с учётом ОДЗ:

$$x\in(-4;-2).$$

в) Рассмотрим неравенство $$\log_{0,5}(x-2)>x-3.$$

Область определения: $$x-2>0,\quad x>2.$$

Так как основание $$0,5<1,$$ функция $$y=\log_{0,5}(x-2)$$ убывает, а функция $$y=x-3$$ возрастает. Проверим точку пересечения:

$$\log_{0,5}(x-2)=x-3.$$

При $$x=3$$:

$$\log_{0,5}1=0,\quad 3-3=0.$$

Значит, графики пересекаются при $$x=3$$. Для $$x<3$$ левая часть больше правой, поэтому

$$x\in(2;3).$$

г) Рассмотрим неравенство $$\log_{0,5}(x+2)<x-1.$$

Область определения: $$x+2>0,\quad x>-2.$$

Функция $$y=\log_{0,5}(x+2)$$ убывает, а функция $$y=x-1$$ возрастает. Найдём точку пересечения: