Упр.12.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 12.5

Рассмотрим уравнение

$$\frac{|2x-4|+|x-5|}{|x-1|+x-1}=1.$$

При $$x\le 1$$ знаменатель равен нулю, поэтому корни могут лежать только при $$x>1$$.

Найдём точки, в которых меняются знаки под модулем:

$$2x-4=0 \Rightarrow x=2,$$

$$x-5=0 \Rightarrow x=5,$$

$$x-1=0 \Rightarrow x=1.$$

Рассмотрим промежутки $$\left(1;2\right), \left[2;5\right], \left(5;+\infty\right).$$

1) На промежутке $$\left(1;2\right)$$

$$|2x-4|=-(2x-4), \quad |x-5|=-(x-5), \quad |x-1|=x-1.$$

Тогда

$$\frac{-2x+4-x+5}{x-1+x-1}=1,$$

$$\frac{9-3x}{2x-2}=1,$$

$$9-3x=2x-2,$$

$$5x=11,$$

$$x=\frac{11}{5}.$$

Но $$\frac{11}{5}\notin \left(1;2\right)$$, значит, на этом промежутке корней нет.

2) На промежутке $$\left[2;5\right]$$

$$|2x-4|=2x-4, \quad |x-5|=-(x-5), \quad |x-1|=x-1.$$

Тогда

$$\frac{2x-4-x+5}{x-1+x-1}=1,$$

$$\frac{x+1}{2x-2}=1,$$

$$x+1=2x-2,$$

$$x=3.$$

Число $$3\in \left[2;5\right]$$, значит, это корень.

3) На промежутке $$\left(5;+\infty\right)$$

$$|2x-4|=2x-4, \quad |x-5|=x-5, \quad |x-1|=x-1.$$

Тогда

$$\frac{2x-4+x-5}{x-1+x-1}=1,$$

$$\frac{3x-9}{2x-2}=1,$$

$$3x-9=2x-2,$$

$$x=7.$$

Число $$7\in \left(5;+\infty\right)$$, значит, это корень.

Проверка показывает, что других корней нет.

Ответ

$$3; \ 7$$