Упр.12.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) 2|x-1| (x2-4x+3) + (x-1) |x2-4x+3| < 0; в) 2|x| (x2-5x+6) + x|x2-5x+6| < =0; г) 2|x-1| (x2-5x+6) + (x-1) |x2-5x+6| < =0.
а) Рассмотрим неравенство
$$2|x|(x^2-4x+3)+x|x^2-4x+3|>0.$$
Найдём нули выражений:
$$x=0,\qquad x^2-4x+3=0,$$
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad x=1,\;3.$$
Разобьём числовую ось на промежутки: $$(-\infty;0),\ (0;1),\ (1;3),\ (3;+\infty).$$
1) Если $$x\in(-\infty;0),$$ то $$|x|=-x,\quad |x^2-4x+3|=x^2-4x+3.$$ Тогда
$$2(-x)(x^2-4x+3)+x(x^2-4x+3)>0,$$
$$-x(x^2-4x+3)>0.$$
Так как на этом промежутке $$x<0$$ и $$x^2-4x+3>0,$$ неравенство выполняется для всех $$x\in(-\infty;0).$$
2) Если $$x\in(0;1),$$ то $$|x|=x,\quad |x^2-4x+3|=x^2-4x+3.$$ Получаем
$$2x(x^2-4x+3)+x(x^2-4x+3)>0,$$
$$3x(x^2-4x+3)>0.$$
На этом промежутке $$x>0$$ и $$x^2-4x+3>0,$$ значит, все числа из $$ (0;1) $$ подходят.
3) Если $$x\in(1;3),$$ то $$|x|=x,\quad |x^2-4x+3|=-(x^2-4x+3).$$ Тогда
$$2x(x^2-4x+3)-x(x^2-4x+3)>0,$$
$$x(x^2-4x+3)>0.$$
Но на промежутке $$ (1;3) $$ выражение $$x^2-4x+3<0,$$ поэтому решений нет.
4) Если $$x\in(3;+\infty),$$ то $$|x|=x,\quad |x^2-4x+3|=x^2-4x+3.$$ Получаем
$$2x(x^2-4x+3)+x(x^2-4x+3)>0,$$
$$3x(x^2-4x+3)>0.$$
Здесь $$x>0$$ и $$x^2-4x+3>0,$$ значит, все числа из $$ (3;+\infty) $$ подходят.
Объединяя результаты, получаем:
$$x\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(3;+\infty).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$2|x-1|(x^2-4x+3)+(x-1)|x^2-4x+3|<0.$$
Так как $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3),$$ то нули выражений: $$x=1,\;3.$$ Разобьём ось на промежутки $$(-\infty;1),\ (1;3),\ (3;+\infty).$$
1) Если $$x\in(-\infty;1),$$ то $$|x-1|=-(x-1),\quad |x^2-4x+3|=x^2-4x+3.$$ Тогда
$$2(-(x-1))(x^2-4x+3)+(x-1)(x^2-4x+3)<0,$$
$$-(x-1)(x^2-4x+3)<0,$$
$$ (x-1)(x^2-4x+3)>0.$$
На промежутке $$(-\infty;1)$$ имеем $$x-1<0$$ и $$x^2-4x+3>0,$$ поэтому решений нет.
2) Если $$x\in(1;3),$$ то $$|x-1|=x-1,\quad |x^2-4x+3|=-(x^2-4x+3).$$ Получаем
$$2(x-1)(x^2-4x+3)-(x-1)(x^2-4x+3)<0,$$
$$ (x-1)(x^2-4x+3)<0.$$
Здесь $$x-1>0$$ и $$x^2-4x+3<0,$$ значит, все числа из $$ (1;3) $$ подходят.
3) Если $$x\in(3;+\infty),$$ то $$|x-1|=x-1,\quad |x^2-4x+3|=x^2-4x+3.$$ Тогда
$$2(x-1)(x^2-4x+3)+(x-1)(x^2-4x+3)<0,$$
$$3(x-1)(x^2-4x+3)<0.$$
На этом промежутке оба множителя положительны, поэтому решений нет.
Следовательно,
$$x\in(1;3).$$
в) Рассмотрим неравенство
$$2|x|(x^2-5x+6)+x|x^2-5x+6|\le 0.$$
Найдём нули:
$$x=0,\qquad x^2-5x+6=0,$$
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),\qquad x=2,\;3.$$
Разобьём ось на промежутки $$(-\infty;0),\ (0;2),\ (2;3),\ (3;+\infty).$$
1) Если $$x\in(-\infty;0),$$ то $$|x|=-x,\quad |x^2-5x+6|=x^2-5x+6.$$ Тогда
$$2(-x)(x^2-5x+6)+x(x^2-5x+6)\le 0,$$
$$-x(x^2-5x+6)\le 0,$$
$$x(x^2-5x+6)\ge 0.$$
На этом промежутке $$x<0,$$ а $$x^2-5x+6>0,$$ значит, решений нет.
2) Если $$x\in(0;2),$$ то $$|x|=x,\quad |x^2-5x+6|=x^2-5x+6.$$ Получаем
$$3x(x^2-5x+6)\le 0.$$
Здесь $$x>0$$ и $$x^2-5x+6>0,$$ поэтому решений нет.
3) Если $$x\in(2;3),$$ то $$|x|=x,\quad |x^2-5x+6|=-(x^2-5x+6).$$ Тогда
$$2x(x^2-5x+6)-x(x^2-5x+6)\le 0,$$
$$x(x^2-5x+6)\le 0.$$
На этом промежутке $$x>0$$ и $$x^2-5x+6<0,$$ значит, все числа из $$ (2;3) $$ подходят.
4) Если $$x\in(3;+\infty),$$ то $$|x|=x,\quad |x^2-5x+6|=x^2-5x+6.$$ Получаем
$$3x(x^2-5x+6)\le 0.$$
Здесь оба множителя положительны, поэтому решений нет.
Кроме того, при $$x=0$$ и $$x=3$$ левая часть равна нулю, значит, эти точки тоже подходят. Точка $$x=2$$ не подходит.
Итак,
$$x\in\{0\}\cup[2;3].$$
г) Рассмотрим неравенство
$$2|x-1|(x^2-5x+6)+(x-1)|x^2-5x+6|\le 0.$$
Так как $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$ то нули выражений: $$x=1,\;2,\;3.$$ Разобьём ось на промежутки $$(-\infty;1),\ (1;2),\ (2;3),\ (3;+\infty).$$
1) Если $$x\in(-\infty;1),$$ то $$|x-1|=-(x-1),\quad |x^2-5x+6|=x^2-5x+6.$$ Тогда
$$2(-(x-1))(x^2-5x+6)+(x-1)(x^2-5x+6)\le 0,$$
$$-(x-1)(x^2-5x+6)\le 0,$$
$$ (x-1)(x^2-5x+6)\ge 0.$$
На этом промежутке $$x-1<0,$$ а $$x^2-5x+6>0,$$ поэтому решений нет.
2) Если $$x\in(1;2),$$ то $$|x-1|=x-1,\quad |x^2-5x+6|=x^2-5x+6.$$ Получаем
$$3(x-1)(x^2-5x+6)\le 0.$$
Здесь $$x-1>0$$ и $$x^2-5x+6>0,$$ значит, решений нет.
3) Если $$x\in(2;3),$$ то $$|x-1|=x-1,\quad |x^2-5x+6|=-(x^2-5x+6).$$ Тогда
$$2(x-1)(x^2-5x+6)-(x-1)(x^2-5x+6)\le 0,$$
$$ (x-1)(x^2-5x+6)\le 0.$$
На этом промежутке $$x-1>0$$ и $$x^2-5x+6<0,$$ значит, все числа из $$ (2;3) $$ подходят.
4) Если $$x\in(3;+\infty),$$ то $$|x-1|=x-1,\quad |x^2-5x+6|=x^2-5x+6.$$ Получаем
$$3(x-1)(x^2-5x+6)\le 0.$$
Здесь оба множителя положительны, поэтому решений нет.
Кроме того, при $$x=1$$ и $$x=3$$ левая часть равна нулю, значит, эти точки подходят; при $$x=2$$ тоже получаем нуль. Следовательно,
$$x\in[2;3].$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(3;+\infty);$$ б) $$x\in(1;3);$$ в) $$x\in\{0\}\cup[2;3];$$ г) $$x\in[2;3].$$
