Упр.11.50 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

6) x4 + x3 + x2 — 14x < 0, [1; 3].

а) $$x^4+x^3+x^2-3x>0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^4+x^3+x^2-3x=x(x^3+x^2+x-3).$$

Проверим, что $$x=1$$ — корень многочлена в скобках:

$$1^3+1^2+1-3=0.$$

Тогда

$$x^3+x^2+x-3=(x-1)(x^2+2x+3),$$

и неравенство принимает вид

$$x(x-1)(x^2+2x+3)>0.$$

Так как

$$x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0$$

при всех $$x\in \mathbb{R},$$ то достаточно решить

$$x(x-1)>0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$

С учётом промежутка $$[-2;2]$$ получаем

$$x\in[-2;0)\cup(1;2].$$

б) $$x^4+x^3+x^2-14x<0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^4+x^3+x^2-14x=x(x^3+x^2+x-14).$$

Проверим, что $$x=2$$ — корень многочлена в скобках:

$$2^3+2^2+2-14=0.$$

Тогда

$$x^3+x^2+x-14=(x-2)(x^2+3x+7),$$

и неравенство равносильно

$$x(x-2)(x^2+3x+7)<0.$$

Так как

$$x^2+3x+7=\left(x+\frac32\right)^2+\frac{19}{4}>0$$

при всех $$x\in \mathbb{R},$$ то достаточно решить

$$x(x-2)<0.$$

Отсюда

$$x\in(0;2).$$

С учётом промежутка $$[1;3]$$ получаем

$$x\in[1;2).$$

Ответ

а) $$[-2;0)\cup(1;2]$$; б) $$[1;2)$$.