Упр.11.36 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.36

а) Рассмотрим область, на которой можно сравнивать показатели степеней:

$$6x^2-31x+25\ge 0$$

$$x\in(-\infty;1]\cup\left[\frac{25}{6};+\infty\right)$$

На этом множестве неравенство

$$\left(\frac15\right)^{\frac{2x-5}{2}}>\left(\frac15\right)^{\sqrt{6x^2-31x+25}}$$

равносильно неравенству

$$\frac{2x-5}{2}<\sqrt{6x^2-31x+25}.$$

Так как правая часть неотрицательна, получаем систему:

$$ \begin{cases} \frac{2x-5}{2}<\sqrt{6x^2-31x+25},\\ 2x-5\ge 0,\\ 6x^2-31x+25\ge 0. \end{cases} $$

Возведём первое неравенство в квадрат:

$$ 6x^2-31x+25<\frac{(2x-5)^2}{4} $$

$$ 24x^2-124x+100<4x^2-20x+25 $$

$$ 20x^2-104x+75<0 $$

$$ (5x-3)(4x-5)<0 $$

Отсюда

$$x\in\left(\frac35;\frac54\right).$$

С учётом условий $$x\ge \frac52$$ и $$x\in(-\infty;1]\cup\left[\frac{25}{6};+\infty\right)$$ получаем пересечение:

$$x\in\left[\frac{25}{6};+\infty\right).$$

б) Аналогично, сначала найдём область допустимых значений:

$$5x^2-41x+36\ge 0$$

$$x\in(-\infty;1]\cup\left[\frac{36}{5};+\infty\right).$$

На этом множестве неравенство

$$\left(\frac16\right)^{2x-6}>\left(\frac16\right)^{\sqrt{5x^2-41x+36}}$$

равносильно неравенству

$$2x-6<\sqrt{5x^2-41x+36}.$$

Так как правая часть неотрицательна, имеем систему:

$$ \begin{cases} 2x-6<\sqrt{5x^2-41x+36},\\ 2x-6>0,\\ 5x^2-41x+36\ge 0. \end{cases} $$

Возведём первое неравенство в квадрат:

$$ 5x^2-41x+36>(2x-6)^2 $$

$$ 5x^2-41x+36>4x^2-24x+36 $$

$$ x^2-17x>0 $$

$$ x(x-17)>0 $$

Отсюда

$$x\in(-\infty;0)\cup(17;+\infty).$$

С учётом условий $$x>3$$ и $$x\in(-\infty;1]\cup\left[\frac{36}{5};+\infty\right)$$ получаем

$$x\in\left[\frac{36}{5};17\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{25}{6};+\infty\right)$$; б) $$x\in\left[\frac{36}{5};17\right)$$.