Упр.11.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) корень x < корень 4 степени (x+4); в) корень (x+1) < корень 3 степени (2x+1); г) корень x < корень 3 степени (3x-2).

1. $$\sqrt{x}<\sqrt[4]{x+3}$$

   Возведём обе части в четвёртую степень. Так как обе части неотрицательны, получаем равносильную систему:

   $$ \begin{cases} x^2-x-3<0,\\ x\ge 0. \end{cases} $$

   Решаем квадратное неравенство:

   $$x^2-x-3<0,$$

   $$x\in\left(\dfrac{1-\sqrt{13}}{2};\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right).$$

   С учётом условия $$x\ge 0$$ получаем:

   $$x\in\left[0;\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right).$$

2. $$\sqrt{x}>\sqrt[4]{x+4}$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$ Возведём обе части в четвёртую степень:

   $$ \begin{cases} x^2-x-4>0,\\ x\ge 0. \end{cases} $$

   Решаем неравенство:

   $$x^2-x-4>0,$$

   $$x\in\left(-\infty;\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1+\sqrt{17}}{2};+\infty\right).$$

   С учётом $$x\ge 0$$ получаем:

   $$x\in\left(\dfrac{1+\sqrt{17}}{2};+\infty\right).$$

3. $$\sqrt{x+1}>\sqrt[3]{2x+1}$$

   Область определения: $$x\ge -1.$$

   Если $$2x+1<0,$$ то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство верно. Тогда

   $$x\in\left[-1;-\dfrac12\right).$$

   При $$x\ge -\dfrac12$$ обе части неотрицательны, поэтому возводим в шестую степень:

   $$ \begin{cases} (x+1)^3>(2x+1)^2,\\ x\ge -\dfrac12. \end{cases} $$

   Получаем:

   $$x^3+3x^2+3x+1>4x^2+4x+1,$$

   $$x^3-x^2-x>0,$$

   $$x(x^2-x-1)>0.$$

   Отсюда

   $$x\in\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2};0\right)\cup\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2};+\infty\right).$$

   С учётом $$x\ge -\dfrac12$$ получаем:

   $$x\in\left[-\dfrac12;0\right)\cup\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2};+\infty\right).$$

   Объединяя с первым случаем, имеем:

   $$x\in\left[-1;0\right)\cup\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2};+\infty\right).$$

4. $$\sqrt{x}<\sqrt[3]{3x-2}$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Если $$3x-2<0,$$ то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство верно. Тогда

   $$x\in\left[0;\dfrac23\right).$$

   При $$x\ge \dfrac23$$ обе части неотрицательны, возводим в шестую степень:

   $$ \begin{cases} x^3<(3x-2)^2,\\ x\ge \dfrac23. \end{cases} $$

   Получаем:

   $$x^3-9x^2+12x-4<0,$$

   $$x^3-9x^2+12x-4=(x-1)(x^2-8x+4).$$

   Тогда

   $$ (x-1)(x^2-8x+4)<0.$$

   Решение этого неравенства:

   $$x\in(4-2\sqrt3;1)\cup(4+2\sqrt3;+\infty).$$

   С учётом $$x\ge \dfrac23$$ получаем:

   $$x\in\left[\dfrac23;1\right)\cup(4+2\sqrt3;+\infty).$$

   Объединяя с первым случаем, имеем:

   $$x\in\left[0;1\right)\cup(4+2\sqrt3;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left[0;\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right)$$

б) $$x\in\left(\dfrac{1+\sqrt{17}}{2};+\infty\right)$$

в) $$x\in\left[-1;0\right)\cup\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2};+\infty\right)$$

г) $$x\in\left[0;1\right)\cup(4+2\sqrt3;+\infty)$$