Упр.11.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) корень (х2-6x) > корень (-х-1);
в) корень (х2-x) > корень (3х-1);
г) корень (х2-7x) > корень (-х-2).

Подробный ответ

а) $$\sqrt{-x^2-5x}>\sqrt{-x-3}$$
Чтобы корень слева был больше корня справа, достаточно и необходимо:
$$0\le -x-3<-x^2-5x$$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} -x-3\ge 0,\\ -x-3+x^2+5x<0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x\le -3,\\ x^2+4x-3<0 \end{cases} $$
Корни квадратного трёхчлена:
$$x=-2\pm \sqrt7$$
Тогда
$$x\in(-2-\sqrt7;\,-2+\sqrt7)$$
Пересечение с условием $$x\le -3$$ даёт:
$$x\in(-2-\sqrt7;\,-3]$$
б) $$\sqrt{x^2-6x}>\sqrt{-x-1}$$
Имеем:
$$0\le -x-1<x^2-6x$$
Составим систему:
$$ \begin{cases} -x-1\ge 0,\\ -x-1-x^2+6x<0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x\le -1,\\ x^2-5x+1>0 \end{cases} $$
Корни уравнения $$x^2-5x+1=0$$:
$$x=\dfrac{5\pm \sqrt{21}}{2}$$
Тогда
$$x\in\left(-\infty;\dfrac{5-\sqrt{21}}{2}\right)\cup\left(\dfrac{5+\sqrt{21}}{2};+\infty\right)$$
С учётом $$x\le -1$$ получаем:
$$x\in(-\infty;\,-1]$$
в) $$\sqrt{x^2-x}>\sqrt{3x-1}$$
Тогда:
$$0\le 3x-1<x^2-x$$
Система:
$$ \begin{cases} 3x-1\ge 0,\\ x^2-x-3x+1>0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x\ge \dfrac13,\\ x^2-4x+1>0 \end{cases} $$
Корни уравнения $$x^2-4x+1=0$$:
$$x=2\pm \sqrt3$$
Значит,
$$x\in(-\infty;\,2-\sqrt3)\cup(2+\sqrt3;\,+\infty)$$
Пересечение с $$x\ge \dfrac13$$ даёт:
$$x\in(2+\sqrt3;\,+\infty)$$
г) $$\sqrt{x^2-7x}>\sqrt{-x-2}$$
Имеем:
$$0\le -x-2<x^2-7x$$
Составим систему:
$$ \begin{cases} -x-2\ge 0,\\ -x-2-x^2+7x<0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x\le -2,\\ x^2-6x+2>0 \end{cases} $$
Корни уравнения $$x^2-6x+2=0$$:
$$x=3\pm \sqrt7$$
Тогда
$$x\in(-\infty;\,3-\sqrt7)\cup(3+\sqrt7;\,+\infty)$$
С учётом $$x\le -2$$ получаем:
$$x\in(-\infty;\,-2]$$