Упр.10.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) log5 (х — 2) * log корень (x+10)(5)=1;
в) log3 (х — 1) * log корень (x+5)(3)=1.

Подробный ответ

а) Найдём область допустимых значений:
$$ \begin{cases} 8x^2-x>0,\\ 8x-1>0,\\ 4x\ne 1. \end{cases} $$
Так как $$8x^2-x=x(8x-1),$$ то получаем
$$ \begin{cases} x(8x-1)>0,\\ 8x-1>0,\\ x\ne \frac14. \end{cases} $$
Отсюда
$$ x>\frac18,\quad x\ne \frac14. $$
На этой области
$$ \log_2(8x^2-x)=\log_2 x+\log_2(8x-1), $$
а также
$$ \log_{4x}(8x-1)=\frac{\log_2(8x-1)}{\log_2(4x)} =\frac{\log_2(8x-1)}{2+\log_2 x}. $$
Обозначим
$$ m=\log_2 x,\qquad n=\log_2(8x-1). $$
Тогда уравнение принимает вид
$$ (m+n)\frac{n}{2+m}=2. $$
Умножим на $$2+m\ne 0$$:
$$ n(m+n)=4+2m. $$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ mn+n^2-4-2m=0, $$
$$ m(n-2)+(n-2)(n+2)=0, $$
$$ (n-2)(m+n+2)=0. $$
Отсюда:
$$ n-2=0 \quad \text{или} \quad m+n+2=0. $$
1) $$n=2,$$ тогда
$$ \log_2(8x-1)=2 \Rightarrow 8x-1=4 \Rightarrow x=\frac58. $$
2) $$m+n+2=0,$$ то есть
$$ \log_2 x+\log_2(8x-1)+2=0. $$
Это даёт
$$ \log_2\bigl(x(8x-1)\bigr)= -2 \Rightarrow x(8x-1)=\frac14. $$
Тогда
$$ 8x^2-x=\frac14 \Rightarrow 32x^2-4x-1=0, $$
$$ x=\frac14 \quad \text{или} \quad x=-\frac18. $$
Оба значения не подходят: $$x=\frac14$$ запрещено по ОДЗ, а $$x=-\frac18$$ не принадлежит ОДЗ.
б) Область допустимых значений:
$$ \begin{cases} x-2>0,\\ x+10>0,\\ x+10\ne 0. \end{cases} $$
Следовательно, $$x>2.$$
Преобразуем логарифм с основанием $$\sqrt{x+10}$$:
$$ \log_{\sqrt{x+10}}5=\frac{1}{\log_5\sqrt{x+10}} =\frac{2}{\log_5(x+10)}. $$
Тогда уравнение равносильно
$$ \log_5(x-2)\cdot \frac{2}{\log_5(x+10)}=1. $$
Умножим на $$\log_5(x+10)$$:
$$ 2\log_5(x-2)=\log_5(x+10). $$
Отсюда
$$ \log_5(x-2)^2=\log_5(x+10), $$
значит
$$ (x-2)^2=x+10. $$
Решаем:
$$ x^2-5x-6=0, $$
$$ x=-1 \quad \text{или} \quad x=6. $$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=6.$$
в) Область допустимых значений:
$$ \begin{cases} x-1>0,\\ x+5>0,\\ x+5\ne 1. \end{cases} $$
Следовательно, $$x>1.$$
Преобразуем:
$$ \log_{\sqrt{x+5}}3=\frac{1}{\log_3\sqrt{x+5}} =\frac{2}{\log_3(x+5)}. $$
Тогда
$$ \log_3(x-1)\cdot \frac{2}{\log_3(x+5)}=1. $$
Умножим на $$\log_3(x+5)$$:
$$ 2\log_3(x-1)=\log_3(x+5). $$
Получаем
$$ \log_3(x-1)^2=\log_3(x+5), $$
значит
$$ (x-1)^2=x+5. $$
Решаем:
$$ x^2-3x-4=0, $$
$$ x=-1 \quad \text{или} \quad x=4. $$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=4.$$