Упр.10.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
10.31 а) корень 3 степени (x2+x (корень x) + 7x + 27 (корень x) + 24) = (корень x) + 3;
б) корень 3 степени (x2+x (корень x) + 27 (корень x) — 37) = (корень x) — 3;
а) Сделаем замену $$\sqrt{x}=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда уравнение примет вид
$$\sqrt[3]{t^4+t^3+7t^2+27t+24}=t+3.$$
Возведём обе части в куб:
$$t^4+t^3+7t^2+27t+24=(t+3)^3.$$
Раскроем куб:
$$t^4+t^3+7t^2+27t+24=t^3+9t^2+27t+27.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$t^4-2t^2-3=0.$$
Положим $$z=t^2,\quad z\ge 0.$$ Тогда
$$z^2-2z-3=0.$$
$$\left(z-3\right)\left(z+1\right)=0,$$
откуда $$z=3$$ или $$z=-1.$$ Так как $$z\ge 0,$$ берём только $$z=3.$$
Тогда
$$t^2=3,\quad t\ge 0 \Rightarrow t=\sqrt{3}.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\sqrt{x}=\sqrt{3}\Rightarrow x=3.$$
б) Сделаем замену $$\sqrt{x}=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$\sqrt[3]{t^4+t^3+27t^2-37}=t-3.$$
Возведём обе части в куб:
$$t^4+t^3+27t^2-37=(t-3)^3.$$
Раскроем куб:
$$t^4+t^3+27t^2-37=t^3-9t^2+27t-27.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$t^4+9t^2-10=0.$$
Положим $$z=t^2,\quad z\ge 0.$$ Тогда
$$z^2+9z-10=0.$$
$$\left(z-1\right)\left(z+10\right)=0,$$
откуда $$z=1$$ или $$z=-10.$$ Так как $$z\ge 0,$$ берём только $$z=1.$$
Тогда
$$t^2=1,\quad t\ge 0 \Rightarrow t=1.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1.$$
Ответ
а) $$3$$; б) $$1$$.
