Упр.10.20 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.20

1. а) Уравнение имеет смысл при всех $$x$$. Домножим обе части на $$7^{-x}$$:

   $$27\cdot 7^3=21^x$$

   $$3^3\cdot 7^3=21^x$$

   $$21^3=21^x$$

   Следовательно, $$x=3$$.

2. б) Домножим обе части на $$2^{-x}$$:

   $$\frac{1}{25}\cdot 6^x\cdot 5^x=9\cdot 2^x$$

   $$\frac{30^x}{2^x}=9\cdot 25$$

   $$15^x=(3\cdot 5)^2$$

   $$x=2$$.

3. в) Преобразуем уравнение:

   $$5\cdot 5^x+5^x=\frac{1}{6}\cdot 6^x+4\cdot 6^x$$

   $$5^x(5+1)=6^x\left(\frac{1}{6}+4\right)$$

   $$6\cdot 5^x=\frac{25}{6}\cdot 6^x$$

   Домножим на $$\frac{1}{6^x}$$:

   $$6\left(\frac{5}{6}\right)^x=\frac{25}{6}$$

   $$\left(\frac{5}{6}\right)^x=\left(\frac{5}{6}\right)^2$$

   Значит, $$x=2$$.

4. г) Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

   $$\frac{1}{5}\cdot 5^{2x}-25^x=-4^{x+1}-2^{2x}$$

   $$4\cdot 4^x+4^x=5^{2x}-\frac{1}{5}\cdot 5^{2x}$$

   $$4^x(4+1)=5^{2x}\left(1-\frac{1}{5}\right)$$

   $$5\cdot 4^x=\frac{4}{5}\cdot 5^{2x}$$

   $$5\cdot 4^x=\frac{4}{5}\cdot 25^x$$

   Домножим на $$\frac{1}{25^x}$$:

   $$\left(\frac{4}{25}\right)^x=\frac{4}{25}$$

   Следовательно, $$x=1$$.

5. д) Домножим обе части на $$2^x\cdot 3^x$$:

   $$2\cdot 2^x\cdot 3^x+2\cdot 3^{2x}=3\cdot 2^{2x}+3\cdot 3^x\cdot 2^x$$

   $$2\cdot 3^x(2^x+3^x)=3\cdot 2^x(2^x+3^x)$$

   $$\bigl(2^x+3^x\bigr)\bigl(2\cdot 3^x-3\cdot 2^x\bigr)=0$$

   Так как $$2^x+3^x>0$$ при всех $$x$$, то

   $$2\cdot 3^x-3\cdot 2^x=0$$

   $$2\left(\frac{3}{2}\right)^x=3$$

   $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{3}{2}$$

   Значит, $$x=1$$.

6. е) Домножим обе части на $$4^x$$:

   $$4\cdot 2^x+4\cdot 6^x=2^x(2^x+6^x)$$

   $$4(2^x+6^x)-2^x(2^x+6^x)=0$$

   $$\bigl(2^x+6^x\bigr)(4-2^x)=0$$

   Так как $$2^x+6^x>0$$ при всех $$x$$, то

   $$4-2^x=0$$

   $$2^x=4$$

   $$x=2$$.

Ответ

а) $$3$$; б) $$2$$; в) $$2$$; г) $$1$$; д) $$1$$; е) $$2$$.