Упр.10.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) корень 3 степени x = корень (2-x);
в) корень 3 степени (x+3) = корень (x-1);
г) корень 3 степени (x+2) = корень (-x).

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение
$$\sqrt[3]{x}=\sqrt{x-4}.$$
Возведём обе части в шестую степень, учитывая ОДЗ: $$x\ge 0,\quad x-4\ge 0.$$ Тогда
$$x^2=(x-4)^3.$$
Получаем
$$x^3-13x^2+48x-64=0.$$
Проверка показывает, что $$x=8$$ — корень. Разложим многочлен на множители:
$$x^3-13x^2+48x-64=(x-8)(x^2-5x+8).$$
Уравнение $$x^2-5x+8=0$$ действительных корней не имеет, поэтому
$$x=8.$$
б) Рассмотрим уравнение
$$\sqrt[3]{x}=\sqrt{2-x}.$$
ОДЗ: $$x\ge 0,\quad 2-x\ge 0,$$ значит $$x\in[0;2].$$ Возводим в шестую степень:
$$x^2=(2-x)^3.$$
Тогда
$$x^3-5x^2+12x-8=0.$$
Проверка даёт корень $$x=1$$. Разложим на множители:
$$x^3-5x^2+12x-8=(x-1)(x^2-4x+8).$$
Уравнение $$x^2-4x+8=0$$ действительных корней не имеет, значит
$$x=1.$$
в) Рассмотрим уравнение
$$\sqrt[3]{x+3}=\sqrt{x-1}.$$
ОДЗ: $$x+3\ge 0,\quad x-1\ge 0,$$ значит $$x\ge 1.$$ Возводим в шестую степень:
$$ (x+3)^2=(x-1)^3.$$
Получаем
$$x^3-4x^2-3x-10=0.$$
Проверка показывает, что $$x=5$$ — корень. Разложим на множители:
$$x^3-4x^2-3x-10=(x-5)(x^2+x+2).$$
Уравнение $$x^2+x+2=0$$ действительных корней не имеет, поэтому
$$x=5.$$
г) Рассмотрим уравнение
$$\sqrt[3]{x+2}=\sqrt{-x}.$$
ОДЗ: $$x+2\ge 0,\quad -x\ge 0,$$ значит $$x\in[-2;0].$$ Возводим в шестую степень:
$$ (x+2)^2=-x^3.$$
Тогда
$$x^3+x^2+4x+4=0.$$
Разложим на множители:
$$x^3+x^2+4x+4=(x+1)(x^2+4).$$
Отсюда
$$x=-1.$$