Упр.60.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) mх — х + 1 > = m^2;
б) b^2 x — х + 1 > b.

а) Преобразуем неравенство:

$$mx-x+1\ge m^2$$

$$x(m-1)\ge m^2-1$$

$$x(m-1)\ge (m+1)(m-1)$$

Рассмотрим случаи.

• Если $$m=1$$, то получаем $$0\ge 0$$, значит, $$x\in \mathbb{R}$$.
• Если $$m>1$$, то $$m-1>0$$, поэтому

  $$x\ge m+1$$

• Если $$m<1$$, то $$m-1<0$$, знак неравенства меняется:

  $$x\le m+1$$

б) Преобразуем неравенство:

$$b^2x-x+1>b$$

$$x(b^2-1)>b-1$$

$$x(b-1)(b+1)>b-1$$

Рассмотрим случаи.

• Если $$b=1$$, то получаем $$0>0$$, решений нет: $$x\in\varnothing$$.
• Если $$b=-1$$, то получаем $$0>-2$$, верно при любом $$x$$, значит, $$x\in\mathbb{R}$$.
• Если $$b>1$$, то $$b-1>0$$ и $$b+1>0$$, поэтому

  $$x>\frac{1}{b+1}$$

• Если $$-1<b<1$$, то $$b-1<0$$, а $$b+1>0$$, поэтому

  $$x<\frac{1}{b+1}$$

• Если $$b<-1$$, то $$b-1<0$$ и $$b+1<0$$, значит, произведение $$ (b-1)(b+1)>0 $$, и

  $$x>\frac{1}{b+1}$$

Ответ

а) $$x\ge m+1$$ при $$m>1$$; $$x\le m+1$$ при $$m<1$$; $$x\in\mathbb{R}$$ при $$m=1$$.

б) $$x>\frac{1}{b+1}$$ при $$b<-1$$ или $$b>1$$; $$x<\frac{1}{b+1}$$ при $$-1<b<1$$; $$x\in\mathbb{R}$$ при $$b=-1$$; $$x\in\varnothing$$ при $$b=1$$.