Упр.6.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin2, sin3, cos4, cos5;
6) cos3, cos4, cos6, cos7;
РІ) sin3, sin4, sin6, sin7;
Рі) cos2, cos3, sin4, sin5.

1. а) $$\sin 2,\ \sin 3,\ \cos 4,\ \cos 5$$

   $$\frac{\pi}{2}<2<3<\pi,\qquad \pi<4<\frac{3\pi}{2},\qquad \frac{3\pi}{2}<5<2\pi$$

   Тогда $$\sin 2>0,\ \sin 3>0,\ \cos 4<0,\ \cos 5>0.$$

   Сравним значения по модулю:

   $$\sin 2=\cos\left(2-\frac{\pi}{2}\right),\qquad \sin 3=\cos\left(3-\frac{\pi}{2}\right),\qquad \cos 5=\cos(2\pi-5).$$

   Так как $$2-\frac{\pi}{2}<2\pi-5<3-\frac{\pi}{2},$$ то

   $$\sin 2>\cos 5>\sin 3>0.$$

   Следовательно,

   $$\cos 4<\sin 3<\cos 5<\sin 2.$$

2. б) $$\cos 3,\ \cos 4,\ \cos 6,\ \cos 7$$

   $$\frac{\pi}{2}<3<\pi,\qquad \pi<4<\frac{3\pi}{2},\qquad \frac{3\pi}{2}<6<2\pi,\qquad 2\pi<7<\frac{5\pi}{2}$$

   Значит, $$\cos 3<0,\ \cos 4<0,\ \cos 6>0,\ \cos 7>0.$$

   Сравним отрицательные и положительные значения:

   $$\cos 3=-\cos(\pi-3),\qquad \cos 4=-\cos(4-\pi),$$

   а так как $$4-\pi>\pi-3,$$ то $$\cos 4<\cos 3<0.$$

   Далее

   $$\cos 6=\cos(2\pi-6),\qquad \cos 7=\cos(7-2\pi),$$

   и поскольку $$7-2\pi>2\pi-6,$$ то $$0<\cos 7<\cos 6.$$

   Итак,

   $$\cos 4<\cos 3<\cos 7<\cos 6.$$

3. в) $$\sin 3,\ \sin 4,\ \sin 6,\ \sin 7$$

   $$\frac{\pi}{2}<3<\pi,\qquad \pi<4<\frac{3\pi}{2},\qquad \frac{3\pi}{2}<6<2\pi,\qquad 2\pi<7<\frac{5\pi}{2}$$

   Тогда $$\sin 3>0,\ \sin 4<0,\ \sin 6<0,\ \sin 7>0.$$

   Сравним значения:

   $$\sin 3=\sin(\pi-3),\qquad \sin 7=\sin(7-2\pi),$$

   и так как $$\pi-3<7-2\pi,$$ то $$0<\sin 3<\sin 7.$$

   Также

   $$\sin 6=\sin(2\pi-6),\qquad \sin 4=-\sin(4-\pi),$$

   а поскольку $$4-\pi>2\pi-6,$$ то $$\sin 4<\sin 6<0.$$

   Следовательно,

   $$\sin 4<\sin 6<\sin 3<\sin 7.$$

4. г) $$\cos 2,\ \cos 3,\ \sin 4,\ \sin 5$$

   $$\frac{\pi}{2}<2<\pi,\qquad \frac{\pi}{2}<3<\pi,\qquad \pi<4<\frac{3\pi}{2},\qquad \frac{3\pi}{2}<5<2\pi$$

   Значит, $$\cos 2<0,\ \cos 3<0,\ \sin 4<0,\ \sin 5>0.$$

   Используем формулы приведения:

   $$\cos 2=-\sin\left(2-\frac{\pi}{2}\right),\qquad \cos 3=-\sin\left(3-\frac{\pi}{2}\right),$$

   $$\sin 4=-\sin(4-\pi),\qquad \sin 5=-\sin(2\pi-5).$$

   Так как

   $$2-\frac{\pi}{2}<4-\pi<2\pi-5<3-\frac{\pi}{2},$$

   то

   $$\sin\left(2-\frac{\pi}{2}\right)<\sin(4-\pi)<\sin(2\pi-5)<\sin\left(3-\frac{\pi}{2}\right).$$

   Следовательно,

   $$\cos 3<\sin 5<\sin 4<\cos 2.$$

Ответ

1. $$\cos 4<\sin 3<\cos 5<\sin 2$$
2. $$\cos 4<\cos 3<\cos 7<\cos 6$$
3. $$\sin 4<\sin 6<\sin 3<\sin 7$$
4. $$\cos 3<\sin 5<\sin 4<\cos 2$$