Упр.59.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) система
5 / (Зх — у) + 3 / (х — 3у) = -2,
15 / (Зх — у) + 2 / (х — 3у) = 1;

Подробный ответ

а) Введём новые переменные:
$$u=\frac{1}{3x-y}, \quad t=\frac{1}{x-3y}.$$
Тогда система примет вид:
$$ \begin{cases} 5u+3t=-2,\\ 15u+2t=1. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$15u+9t=-6.$$
Вычтем из него второе уравнение:
$$7t=-7, \quad t=-1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$5u+3\cdot(-1)=-2, \quad 5u=1, \quad u=\frac{1}{5}.$$
Возвращаемся к исходным переменным:
$$\frac{1}{3x-y}=\frac{1}{5}, \quad \frac{1}{x-3y}=-1.$$
Отсюда:
$$3x-y=5, \quad x-3y=-1.$$
Из первого уравнения $$y=3x-5$$. Подставим во второе:
$$x-3(3x-5)=-1,$$
$$x-9x+15=-1,$$
$$-8x=-16, \quad x=2.$$
Тогда
$$y=3\cdot 2-5=1.$$
б) Введём новые переменные:
$$u=\frac{1}{x+y}, \quad t=\frac{1}{x-y}.$$
Тогда получим систему:
$$ \begin{cases} 3u+6t=-1,\\ 5u+9t=-2. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:
$$ \begin{cases} 9u+18t=-3,\\ 10u+18t=-4. \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$u=-1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3\cdot(-1)+6t=-1, \quad 6t=2, \quad t=\frac{1}{3}.$$
Возвращаемся к исходным переменным:
$$\frac{1}{x+y}=-1, \quad \frac{1}{x-y}=\frac{1}{3}.$$
Значит,
$$x+y=-1, \quad x-y=3.$$
Сложим уравнения:
$$2x=2, \quad x=1.$$
Тогда
$$y=-1-1=-2.$$