Упр.56.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) lg^2 x^2 + lg 10x — 6 = 0;
Р±) 3^x + 3^(-x + 1) = 4;
РІ) 2 cos^2 x — 7 СЃРѕs x — 4 = 0;
г) 5^(2корень(х)) + 125 = 6 * 5^корень(x) + 1.

1. $$\lg^2 x^2+\lg 10x-6=0$$

   Так как $$\lg x^2=2\lg x$$ и $$\lg 10x=1+\lg x,$$ получаем

   $$4\lg^2 x+\lg x-5=0.$$

   Сделаем замену $$t=\lg x.$$ Тогда

   $$4t^2+t-5=0.$$

   $$D=1+80=81,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{8}.$$

   Отсюда

   $$t_1=-\frac54,\quad t_2=1.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\lg x=-\frac54 \Rightarrow x=10^{-\frac54},$$

   $$\lg x=1 \Rightarrow x=10.$$

2. $$3^x+3^{-x+1}=4.$$

   Пусть $$t=3^x,$$ тогда $$3^{-x+1}=\frac{3}{3^x}=\frac{3}{t}.$$ Получаем

   $$t+\frac{3}{t}=4.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2-4t+3=0.$$

   $$ (t-1)(t-3)=0,$$

   $$t_1=1,\quad t_2=3.$$

   Тогда

   $$3^x=1 \Rightarrow x=0,$$

   $$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

3. $$2\cos^2 x-7\cos x-4=0.$$

   Пусть $$t=\cos x,$$ тогда

   $$2t^2-7t-4=0.$$

   $$D=49+32=81,$$

   $$t_{1,2}=\frac{7\pm 9}{4}.$$

   Получаем

   $$t_1=4,\quad t_2=-\frac12.$$

   Значение $$t=4$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$ Поэтому

   $$\cos x=-\frac12.$$

   Следовательно,

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$5^{2\sqrt{x}}+125=6\cdot 5^{\sqrt{x}+1}.$$

   Область допустимых значений: $$x\ge 0.$$

   Преобразуем уравнение:

   $$5^{2\sqrt{x}}+125=30\cdot 5^{\sqrt{x}}.$$

   Сделаем замену $$t=5^{\sqrt{x}},\quad t>0.$$ Тогда

   $$t^2-30t+125=0.$$

   $$ (t-5)(t-25)=0,$$

   $$t_1=5,\quad t_2=25.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$5^{\sqrt{x}}=5 \Rightarrow \sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1,$$

   $$5^{\sqrt{x}}=25 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4.$$

Ответ

а) $$10^{-\frac54},\ 10$$; б) $$0,\ 1$$; в) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$1,\ 4$$.