Упр.56.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin 2x = sin x;
б) cos^2 (пи — х) + sin 2x = 0;
в) корень(з) cos Зх = sin 6x;
г) sin^2 (пи + x/2) — 1/2 sin х = 0.

1. $$\sin 2x=\sin x$$

   $$2\sin x\cos x-\sin x=0$$

   $$\sin x(2\cos x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0$$

   $$x=\pi n \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12$$

   $$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$

2. $$\cos^2(\pi-x)+\sin 2x=0$$

   $$\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$$

   $$\cos x(\cos x+2\sin x)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+2\sin x=0$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac12$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg \frac12+\pi n$$

3. $$\sqrt{3}\cos 3x=\sin 6x$$

   $$\sqrt{3}\cos 3x=2\sin 3x\cos 3x$$

   $$\cos 3x(\sqrt{3}-2\sin 3x)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad 3x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n$$

   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}$$

4. $$\sin^2\left(\pi+\frac{x}{2}\right)-\frac12\sin x=0$$

   $$\sin^2\frac{x}{2}-\frac12\cdot 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$

   $$\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}=1$$

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$;
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ -\arctg \frac12+\pi n$$;
в) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ (-1)^n\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}$$;
г) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.