Упр.55.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) (x^2 + 3x — 1) / (x^2 + 1) = 3 Рё x^2 + 3x — 1 = 3x^2 + 3;
6) (sin x + 1) / (sin x + 2) = 0,5 Рё sin x + 1 = 0,5 sinx + 1?

а) Рассмотрим уравнения

$$\frac{x^2+3x-1}{x^2+1}=3$$
и
$$x^2+3x-1=3x^2+3.$$

Знаменатель первого уравнения всегда положителен:

$$x^2+1>0$$
для любого $$x\in \mathbb{R}$$.

Значит, можно умножить обе части первого уравнения на $$x^2+1$$:

$$\frac{x^2+3x-1}{x^2+1}=3$$
$$x^2+3x-1=3(x^2+1)$$
$$x^2+3x-1=3x^2+3.$$

Получили второе уравнение, следовательно, уравнения равносильны.

б) Рассмотрим уравнения

$$\frac{\sin x+1}{\sin x+2}=0{,}5$$
и
$$\sin x+1=0{,}5\sin x+1.$$

Знаменатель первого уравнения всегда положителен, так как

$$-1\le \sin x\le 1,$$
значит
$$\sin x+2\ge 1>0.$$

Можно умножить обе части первого уравнения на $$\sin x+2$$:

$$\frac{\sin x+1}{\sin x+2}=0{,}5$$
$$\sin x+1=0{,}5(\sin x+2)$$
$$\sin x+1=0{,}5\sin x+1.$$

Получили второе уравнение, значит, они равносильны.

Ответ

а) да; б) да.