Упр.53.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) одночлен, содержащий x^8;
о) одночлен, содержащий х^4;
в) одночлен, содержащий х^-2;
г) свободный коэффициент (одночлен, не содержащий х).

Используем формулу бинома Ньютона:

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k x^{10-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k x^{10-2k}.$$

Общий член разложения имеет вид $$C_{10}^k x^{10-2k}.$$

1. Одночлен, содержащий $$x^8$$:

   $$10-2k=8,$$

   $$2k=2,\quad k=1.$$

   Тогда

   $$C_{10}^1x^8=10x^8.$$

2. Одночлен, содержащий $$x^4$$:

   $$10-2k=4,$$

   $$2k=6,\quad k=3.$$

   Тогда

   $$C_{10}^3x^4=120x^4.$$

3. Одночлен, содержащий $$x^{-2}$$:

   $$10-2k=-2,$$

   $$2k=12,\quad k=6.$$

   Тогда

   $$C_{10}^6x^{-2}=210x^{-2}.$$

4. Свободный коэффициент:

   $$10-2k=0,$$

   $$2k=10,\quad k=5.$$

   Тогда

   $$C_{10}^5=252.$$

Ответ

а) $$10x^8$$; б) $$120x^4$$; в) $$210x^{-2}$$; г) $$252$$.