Упр.51.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Из отмеченных точек случайным образом выбирают одну. Найдите вероятность того, что:
а) она лежит на оси ординат;
б) она лежит не на координатных осях;
в) она лежит в круге радиуса 1 с центром в начале координат;
г) её абсцисса и ордината отличаются более чем на 2.

Подробный ответ

В круге радиусом $$\sqrt{3}$$ с центром в начале координат отмечены все точки с целыми координатами. Так как $$x^2+y^2\le 3$$ и $$x,y\in \mathbb{Z}$$, возможны только значения $$x,y\in\{-1,0,1\}$$.

Значит, все отмеченные точки такие:

$$(-1,1),\ (0,1),\ (1,1),\ (-1,0),\ (0,0),\ (1,0),\ (-1,-1),\ (0,-1),\ (1,-1).$$

Всего точек $$9$$.

а) На оси ординат лежат точки с $$x=0$$: $$ (0,1),\ (0,0),\ (0,-1) $$.

Тогда

$$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$$

б) Не на координатных осях лежат точки, у которых $$x\ne 0$$ и $$y\ne 0$$:

$$(-1,1),\ (1,1),\ (-1,-1),\ (1,-1).$$

Их $$4$$, значит

$$P=\frac{4}{9}.$$

в) В круг радиуса $$1$$ с центром в начале координат попадают точки, для которых $$x^2+y^2\le 1$$:

$$(-1,0),\ (0,-1),\ (0,0),\ (0,1),\ (1,0).$$

Таких точек $$5$$, поэтому

$$P=\frac{5}{9}.$$

г) Проверим условие $$|x-y|>2$$ для всех отмеченных точек. Среди чисел $$-1,0,1$$ наибольшая возможная разность равна $$2$$, а значит, условие $$|x-y|>2$$ не выполняется ни для одной точки.

Следовательно, вероятность равна

$$P=0.$$