Упр.48.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите точки экстремума функции у = F(x), если:
a) f(x) = (х^2 — 5x + 6) / корень(x — 1);
б) f(x) = (25x — х^3) ln х;
в) f(x) = (3x — 6) / (3)корень(2x + 4);
г) f(x) = (x^3 — 9x) / (4)корень(2 — x).

1. Точки экстремума первообразной $$F(x)$$ находятся там, где производная $$F'(x)=f(x)$$ меняет знак.

2. а) $$f(x)=\dfrac{x^2-5x+6}{\sqrt{x-1}}$$

   Область определения: $$x>1$$.

   Нули числителя:

   $$ x^2-5x+6=0 $$
   $$ (x-2)(x-3)=0 $$
   $$ x=2,\; x=3 $$

   На промежутке $$x>1$$ знак производной меняется так: $$+\to 0 \to — \to 0 \to +$$.

   Значит, при $$x=2$$ — максимум, при $$x=3$$ — минимум.

3. б) $$f(x)=(25x-x^3)\ln x$$

   Область определения: $$x>0$$.

   $$ f(x)=x(25-x^2)\ln x=x(5-x)(5+x)\ln x $$

   На области определения знак производной меняется так, что при $$x=1$$ получается минимум, а при $$x=5$$ — максимум.

4. в) $$f(x)=\dfrac{3x-6}{\sqrt[3]{2x+4}}$$

   Область определения: $$x\ne -2$$.

   Нуль числителя:

   $$ 3x-6=0 $$
   $$ x=2 $$

   При переходе через $$x=-2$$ производная не существует, а знак функции меняется так, что в этой точке — максимум, а при $$x=2$$ — минимум.

5. г) $$f(x)=\dfrac{x^3-9x}{\sqrt[4]{2-x}}$$

   Область определения: $$x<2$$.

   $$ x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3) $$

   Нули числителя на области определения: $$x=-3$$ и $$x=0$$.

   Знак производной меняется так: $$-\to 0 \to + \to 0 \to -$$.

   Значит, при $$x=-3$$ — минимум, при $$x=0$$ — максимум.

Ответ

а) $$x=2$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума;
б) $$x=5$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума;
в) $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума;
г) $$x=0$$ — точка максимума, $$x=-3$$ — точка минимума.