Упр.44.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
log9 (x — у) = 1/2,
log64 x — log64 у = 1/3;
б) система
log1/3 (3x — у) = log1/3 (x + 4),
log9 (x^2 + x — у) = log9 x^2.

а)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} \log_9(x-y)=\frac12,\\ \log_{64}x-\log_{64}y=\frac13. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ \log_9(x-y)=\frac12 \;\Rightarrow\; x-y=9^{1/2}=3. $$

Из второго уравнения:

$$ \log_{64}x-\log_{64}y=\log_{64}\frac{x}{y}=\frac13 \Rightarrow \frac{x}{y}=64^{1/3}=4. $$

Тогда

$$ x=4y. $$

Подставим в уравнение $$x-y=3$$:

$$ 4y-y=3,\quad 3y=3,\quad y=1,\quad x=4. $$

Проверка области допустимых значений: $$x-y>0,\; x>0,\; y>0$$ — найденная пара подходит.

б)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} \log_{1/3}(3x-y)=\log_{1/3}(x+4),\\ \log_9(x^2+x-y)=\log_9 x^2. \end{cases} $$

Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны их аргументы:

$$ \begin{cases} 3x-y=x+4,\\ x^2+x-y=x^2. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ x-y=0 \Rightarrow y=x. $$

Подставим в первое:

$$ 3x-x= x+4 \Rightarrow 2x=x+4 \Rightarrow x=4. $$

Тогда

$$ y=4. $$

Проверка области допустимых значений: $$3x-y>0,\; x+4>0,\; x^2+x-y>0,\; x\neq 0$$ — пара $$ (4,4) $$ подходит.

Ответ

а) $$ (4;1) $$; б) $$ (4;4) $$.