Упр.42.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

лежит выше графика заданной линейной функции:
а) у = log2 x, у = -х + 1;
б) y = log0.5 x, У = x — 1;
в) у = log1/3 х, у = 7х;
г) у = log3 x, y = -3x?

1. а) $$y=\log_2 x$$ и $$y=-x+1$$.

   Область определения: $$x>0$$.

   Функция $$y=\log_2 x$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а функция $$y=-x+1$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$.

   Найдём точку пересечения:

   $$ \log_2 x=-x+1 $$
   $$ x=1 $$

   При $$x>1$$ логарифмическая функция лежит выше линейной.

2. б) $$y=\log_{0.5} x$$ и $$y=x-1$$.

   Область определения: $$x>0$$.

   Функция $$y=\log_{0.5} x$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а функция $$y=x-1$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$.

   Точка пересечения:

   $$ \log_{0.5} x=x-1 $$
   $$ x=1 $$

   Так как первая функция убывает, а вторая возрастает, то выше график логарифмической функции при $$0<x<1$$.

3. в) $$y=\log_{\frac17} x$$ и $$y=7x$$.

   Область определения: $$x>0$$.

   Функция $$y=\log_{\frac17} x$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а функция $$y=7x$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$.

   Точка пересечения:

   $$ \log_{\frac17} x=7x $$
   $$ x=\frac17 $$

   Следовательно, график логарифмической функции выше графика линейной при $$0<x<\frac17$$.

4. г) $$y=\log_3 x$$ и $$y=-3x$$.

   Область определения: $$x>0$$.

   Функция $$y=\log_3 x$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а функция $$y=-3x$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$.

   Точка пересечения:

   $$ \log_3 x=-3x $$
   $$ x=\frac13 $$

   Значит, выше график логарифмической функции при $$x>\frac13$$.

Ответ

а) $$x\in(1;+\infty)$$;
б) $$x\in(0;1)$$;
в) $$x\in\left(0;\frac17\right)$$;
г) $$x\in\left(\frac13;+\infty\right)$$.