Упр.40.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 3 * 2^2x + 6^x — 2 * З^2x = 0;
б) 2 * 2^2x — 3 * 10^x — 5 * 5^2x = 0;
в) 3^(2x + 1) — 4 * 21^x — 7 * 7^2x = 0;
г) 5 * З^2x + 7 * 15^x — 6 * 25^x = 0.

1. а) $$3\cdot 2^{2x}+6^x-2\cdot 3^{2x}=0$$

   Разделим уравнение на $$3^{2x}$$:

   $$3\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}+\left(\frac{2}{3}\right)^x-2=0.$$

   Пусть $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x,$$ тогда $$y>0$$ и получаем:

   $$3y^2+y-2=0.$$

   $$D=1+24=25,$$

   $$y_1=\frac{-1-5}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+5}{6}=\frac23.$$

   Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$y>0.$$

   Тогда

   $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac23,$$

   откуда $$x=1.$$

2. б) $$2\cdot 2^{2x}-3\cdot 10^x-5\cdot 5^{2x}=0$$

   Разделим уравнение на $$5^{2x}$$:

   $$2\left(\frac25\right)^{2x}-3\left(\frac25\right)^x-5=0.$$

   Пусть $$y=\left(\frac25\right)^x,$$ тогда $$y>0$$ и

   $$2y^2-3y-5=0.$$

   $$D=9+40=49,$$

   $$y_1=\frac{3-7}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{3+7}{4}=\frac52.$$

   Корень $$y=-1$$ не подходит.

   Тогда

   $$\left(\frac25\right)^x=\frac52,$$

   откуда $$x=-1.$$

3. в) $$3^{2x+1}-4\cdot 21^x-7\cdot 7^{2x}=0$$

   Разделим уравнение на $$7^{2x}$$:

   $$3\left(\frac37\right)^{2x}-4\left(\frac37\right)^x-7=0.$$

   Пусть $$y=\left(\frac37\right)^x,$$ тогда $$y>0$$ и

   $$3y^2-4y-7=0.$$

   $$D=16+84=100,$$

   $$y_1=\frac{4-10}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{4+10}{6}=\frac73.$$

   Корень $$y=-1$$ не подходит.

   Тогда

   $$\left(\frac37\right)^x=\frac73,$$

   откуда $$x=-1.$$

4. г) $$5\cdot 3^{2x}+7\cdot 15^x-6\cdot 25^x=0$$

   Разделим уравнение на $$5^{2x}$$:

   $$5\left(\frac35\right)^{2x}+7\left(\frac35\right)^x-6=0.$$

   Пусть $$y=\left(\frac35\right)^x,$$ тогда $$y>0$$ и

   $$5y^2+7y-6=0.$$

   $$D=49+120=169,$$

   $$y_1=\frac{-7-13}{10}=-2,\qquad y_2=\frac{-7+13}{10}=\frac35.$$

   Корень $$y=-2$$ не подходит.

   Тогда

   $$\left(\frac35\right)^x=\frac35,$$

   откуда $$x=1.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$-1$$; г) $$1$$.